Обобщенной Функции Производная

Слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция. Обобщенная (слабая) производная порядка определяется равенством Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из . Если при всех таких, что Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где Пусть Может случиться, что нек-рая обобщенная производная может быть отождествлена с нек-рой (О)-функцией. В этом случае — обобщенная производная типа функции. Примеры. 1)где — функция Хевисайда и d — функция Дирака.2) Общее решение уравнения в классе есть произвольная постоянная.3) Тригонометрический ряд сходится в D' и его можно дифференцировать в D' почленно бесконечное число раз. Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, v. 1, P., 1950; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962, В. С. Владимиров.