Общее Положение

Словосочетание, употребляющееся в оборотах типа: "объекты О в О. п. имеют свойство S(или свойства Si)", "S есть свойство О. п.", "приведение в О. п.", точный смысл к-рых зависит от контекста. Обычно совокупность всех рассматриваемых объектов снабжается структурой, позволяющей считать нек-рые подмножества "малыми", "пренебрежимыми" или, наоборот, "большими", "массивными"; тогда Sсчитается "свойством О. п.", если обладающие им объекты образуют в "большое" подмножество. обычно имеет одну из следующих структур: а) алгебраического многообразия, б) дифференцируемого многообразия (возможного, бесконечномерного), в) топологич. пространства, чаще всего Бэра пространства в первом значении этого термина, г) пространства с мерой. "Малыми" считаются соответственно: алгебраич. подмногообразия (меньшей размерности), дифференцируемые подмногообразия и конечные или счетные объединения таковых, нигде не плотные множества или множества первой категории, множества меры нуль. Множество считается "большим", если дополнение к ному — "малое". Тогда говорят также, что содержит "большинство" объектов из или "почти все" эти объекты, а свойство S, выполняющееся для почти всех объектов, наз. "типичным", или свойством О. п. Нередко говорят о "типичном" объекте, объекте общего положения или объекте, находящемся в О. п., подразумевая (иногда молчаливо), что имеется одно или несколько "типичных" свойств (каких именно — должно быть ясно из контекста) и что речь идет об объекте, обладающем этими свойствами. В более слабом смысле "большое" подмножество в случаях в) и г) может означать подмножество второй категории в непустом открытом подмножестве пространства или подмножество положительной меры. Тогда говорят, что "этим множеством объектов нельзя пренебрегать" (но уже не говорят о "типичности") . В случаях а) и б) "малое" множество имеет положительную коразмерность codim . Естественно считать, что тем меньше, чем больше codim Близкой к б) (и более общей) является ситуация, когда можно говорить об n-параметрич. семействах объектов достаточно гладко зависящих от п(скалярных) параметров, и всевозможные такие семейства образуют пространство Бэра. Если почти все (в смысле в)) эти семейства не содержат объектов из , то говорят, что codim, а если это так при любом п, то полагают codim. Соображения коразмерности играют значительную роль в теории бифуркаций и теории особенностей дифференцируемых отображений (см. также [8]). На объекты могут действовать нек-рые операции g;их совокупность Gобычно является группой или хотя бы полугруппой с единицей е. О "приведении объекта О в О. п. посредством операции g" говорят, когда из контекста ясно, что рассматриваются определенные свойства; "приведение" означает, что gO обладает этими свойствами. Как и , G обычно снабжается структурой, позволяющей говорить о "большом" множество операций или о том, что операцию g, переводящую О в объект gO с нужными свойствами, можно выбрать сколь угодно близкой к е("приведение в О. п. посредством малого шевеления"). Напр., на плоскости прямая и окружность в О. п. либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В данном случае объект есть пара (а, b), где а- прямая, b-окружность, а в качестве операций можно взять евклидовы движения (либо одни только параллельные переносы), действующие на апри фиксированном b. Совокупность всевозможных объектов и группа Gестественно снабжаются всеми названными выше структурами, и О. п. можно понимать согласно любому из описанных вариантов. Первоначально об О. п. говорили именно в подобных геометрич. вопросах, поэтому данный термин употребляется в разделах математики, являющихся геометрическими по своему характеру или по крайней мере испытавших значительное геометрич. влияние (хотя соображения, связанные с множествами второй категории или полной меры, используются и за их пределами). По сей день термин "О. п." часто применяется к ситуации, непосредственно обобщающей приведенный пример, когда речь идет о трансверсальности двух подмногообразий в нек-ром объемлющем многообразии (или к родственной ситуации с трансверсальными самопересечениями иммерсированного подмногообразия). В частности, и геометрич. топологии (рассматривающей кусочно линейные или топологич. многообразия и соответствующие классы отображений) термин "О. п." употребляется почти исключительно как синоним трансверсальности. В алгебраич. геометрии простые примеры (вроде приведенного) легко разбираются с помощью теории исключения, причем основное поле может быть довольно произвольным (обычно алгебраически замкнутым). Имеются теоремы, связанные с О. п. в более сложных ситуациях (напр., Бертини теоремы, Лефшеца теорема о гиперплоском сечении); при изучении действия алгебраич. группы на алгебраич. многообразии большую роль играют общего положения точки[1]. В дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений О.