Оптимальный Режим Скользящий

Термин, используемый в теории оптимального управления для описания оптимального способа управления системой в случае, когда минимизирующая последовательность управляющих функций не имеет предела в классе измеримых по Лебегу функций. Пусть, напр., требуется найти минимум функционала при условиях Для получения минимума функционала (1) желательно иметь при каждом tкак можно меньшее значение |x(t)|и как можно большее значение |u(t)|. Первому требованию, с учетом условия связи (2), граничных условий (3) и ограничений на управление (4), удовлетворяет траектория Если бы траекторию (5) можно было построить при иек-ром управлении, принимающем при всех tграничные значения был бы получен абсолютный минимум функционала (1), Однако "идеальная" траектория (5) не может быть построена ни при какой управляющей функции u(t), удовлетворяющей (6), поскольку при Тем не менее можно, используя управляющие функции u п(t), реализующие при и 1<t<2 все более частые переключения с 1 на -1 и обратно: построить минимизирующую последовательность управлений , удовлетворяющую (6), и минимизирующую последовательность траекторий ,cxoдящуюcя к "идеальной" траектории (5). Каждая из траекторий xn(t). отличается от (5) только на интервале (1, 2), на к-ром в. где yi- — сопряженные переменные (см. [2]). При этом на участке [t1, t2] "скольжения" по k+1, k>1, максимумам u0, и 1, ... , uk исходная задача расщепляется и принимает вид Функцию Гамильтона для задачи (16)-(19) после исключения a0 и перегруппировки слагаемых можно привести к виду Поскольку все H(t, x, y, us),s=0, 1, ... , k, есть равные между собой максимумы Hпо ина множестве U, то на участке [t1, t2] О. р. с. с k+1 максимумами коэффициенты при k независимых линейных управлениях a1..., ak функции Гамильтона расщепленной задачи (12)-(15) равны нулю. О. р. с. со "скольжением" по k+1 максимумам есть особый оптимальный режим по kкомпонентам для расщепленной задачи (16)-(19). Максимально возможное значение k, к-рое целесообразно брать при исследовании скользящих режимов, определяется из условия выпуклости множества значений вектора правых частей и выпуклости вниз точной нижней границы множества значений подинтегральной функции расщепленной системы, получающихся, когда вектор управления (as, us), s=0,1,...,kпробегает всю допустимую область значений. Таким образом, — оценка сверху для k. В самом общем случае все О. р. с. исходной задачи могут быть получены как особые оптимальные управления расщепленной задачи, записанной при k=n. В частности, в рассмотренном выше примере расщепленная задача рассматривалась при k=1, поскольку условия связи содержали только одно уравнение; исследование расщепленной задачи (8)-(11) было достаточно для исследования О. р. с. исходной задачи (1)-(4). Если известны k+1 управлений u0(t),и 1(t),...,uk(t), доставляющих равные между собой абсолютные максимумы функции Гамильтона H(t, x,y, и).в допустимой области U, то анализ О. р. с. сводится к исследованию особого оптимального режима по kкомпонентам. Это исследование может быть проведено с использованием необходимых условий оптимальности особого управления (см. Оптимальный режим особый). Исследовались О. р. с. с помощью достаточных условий оптимальности (см. [4]). Лит.:[1] Гамкрелидзе Р. В., "Докл. АН СССР", 1962, т. 143, № 6, с. 1243 — 45; [2] IIонтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [3] Вапнярский И. Б., "Ж. вычислит, матем. и матем. физ.", 1967, т. 7, № 2, с.259-83; [4] Кротов В. Ф., "Автоматика и телемеханика", 1963, т. 24, № 5, с. 581-98. И. Б. Вапнярский.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me