Оптимальности Достаточные Условия

Условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения. О. д. у. слабого минимума (см. [1]): для того чтобы кривая доставляла слабый минимум функционалу (1) при граничных условиях. y.(x0) = y0 ,y(x1) = y1, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия. 1) Кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять Эйлера уравнению 2) Вдоль кривой , включая ее концы, должно выполняться усиленное Лежандра условие Fy'y'( х, у, y') >0. 3) Кривая должна удовлетворять усиленному Якоби условию, требующему, чтобы решение уравнения Якоби (2) с начальными условиями h(x0)=0, h'(x0) = 1 не обращалось в нуль в точках замкнутого справа интервала Коэффициенты уравнения Якоби (2), представляющего собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, вычисляются вдоль экстремали и представляют известные функции от х. Для сильного минимума достаточно, чтобы дополнительно, помимо перечисленных выше, выполнялось следующее условие. 4) Существует окрестность кривой , в каждой точке (x, у).к-рой при любом у' выполняется неравенство (3) где — функция Вейерштрасса, а и( х, у) — наклон поля . экстремалей, окружающего На самой экстремали условие (3) принимает вид (4) Условие (4) является необходимым для сильного минимума; оно наз. необходимым условием Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют выполнения нек-рых усиленных необходимых условий в точках самой экстремали, в достаточных условиях сильного минимума требуется выполнение необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности экстремали. В общем случае нельзя ослабить формулировку достаточных условий сильного минимума, заменив требование выполнения условия Вейерштрасса в окрестности экстремали на усиленное условие Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства) в точках экстремали (см. [1]). Для неклассических вариационных задач, рассматриваемых в оптимального управления математической теории, существует несколько подходов к установлению О. д. у. абсолютного экстремума. Пусть поставлена задача оптимального управления, в к-рой требуется определить минимум функционала при условиях где U — заданное замкнутое множество р-мерного пространства. При использовании метода динамического программирования [3] О. д. у. формулируются следующим образом. Для того чтобы управление u(t).было оптимальным управлением в задаче (5)-(8), достаточно, чтобы: 1) существовала такая непрерывная функция S(x), к-рая имеет непрерывные частные производные при всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно гладкого множества размерности меньше п, равна нулю в конечной точке х 1, S(x1)=0, и удовлетворяет уравнению Беллмана 2) u(t)=v(x(t)), при , где v(х) — синтезирующая функция, определяемая из уравнения Беллмана: В действительности при использовании метода динамич. программирования получается более сильный результат: О. д. у. для множества различных управлений, переводящих фазовую точку из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние x1. В более общем случае, когда рассматривается неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и вектор-функция правых частей зависят еще и от времени t, функция Sдолжна зависеть от tи к левой части уравнения (9) следует добавить слагаемое . Имеется доказательство (см. [4]), в к-ром удалось снять весьма стеснительное и не выполняющееся в большинство задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной дифференцируемости функции S(х).для всех х. О. д. у. могут быть построены на основе принципа максимума Понтрягина. Если в нек-рой области Gфазового пространства осуществлен регулярный синтез, то все траектории, полученные с помощью принципа максимума при построении регулярного синтеза, являются оптимальными в области G. Определение регулярного синтеза хотя и является довольно громоздким, но по существу не накладывает особых ограничений на задачу (5)-(8). Существует другой подход к установлению О. д. у. (см. [5]). Пусть j(x) — функция, непрерывная вместе со своими частными производными при всех допустимых х, принадлежащих заданной области G, и Для того чтобы пара , доставляла абсолютный минимум в задаче (5) — (8), достаточно существование такой функции j(x), что Допускаются соответствующие изменения приведенной формулировки О. д. у. для более общих случаев неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера и Больца (см. Больца задача), а также для скользящих оптимальных режимов (см. [5]). Исследовались вариационные задачи с функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными связями в форме уравнений с частными производными, в к-рых рассматриваются функции нескольких переменных (см. [6]). Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; [2] Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Беллман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; [4] Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, М., 1966; [5] Кротов В. Ф., "Автоматика и телемеханика", 1962, т. 23, № 12, с. 1571-83; 1963, т. 24, № 5, с. 581-98; [6] Бутковский А. Г., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский.