Орициклический Поток

Поток в пространстве биэдров такого re-мерного риманова многообразия М п (обычно замкнутого), для к-рого определено понятие орицикла; О. н. описывает движение биэдров вдоль определяемых ими орициклов. Основные случаи, когда определено понятие орицикла,- те, когда кривизна римановой метрики отрицательна и либо п=2, либо кривизна постоянна. Б и э д р у, т. е. ортонормированному 2-реперу ( х, е 1, е 2)(; е 1, е 2- взаимно ортогональные единичные касательные векторы в точке х), сопоставляется орицикл h(x, e1, е 2), к-рый проходит через хв направлении е 2 и расположен на проходящей через хорисфере Н( х, е 1), являющейся (п-1) — мерным ортогональным многообразием семейства геодезич. линий, асимптотических (в положительном направлении) к геодезич. линии, проходящей через хв направлении е 1. Направление на h, определяемое е 2, принимается за положительное (при n=2 роль е 2 только к этому и сводится; Ни h могут иметь самопересечения; простейший способ избежать могущих возникнуть из-за этого неясностей состоит в том, чтобы выполнить аналогичные построения не в М n, а в его универсальном накрывающем многообразии — при постоянной кривизне это обычное n-мерное пространство Лобачевского — и спроектировать полученный там орицикл в М n). Под действием О. п. биэдр ( х, е 1, е 2).за время tпереходит в (x(t), e1(t), e2(t)). Зде х(t).с изменением tдвижется с единичной скоростью по h(x, е 1, е 2).в положительном направлении, единичный вектор е 1(t).ортогонален H( х, е 1).в точке x(t).(выбор одного из двух возможных направлений для е 1(t).производится по непрерывности) и Изучение О. п. было начато в связи с тем, что он играл важную роль при исследовании геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [1]. Позднее эта роль перешла к нек-рым слоениям, возникающим в теории У-систем, а О. п. стал самостоятельным объектом исследования. Свойства О. п. хорошо изучены (см. [2]-[7], [11]). О нек-рых обобщениях см. в [8]-[10]. Лит.:[l] X о п ф Э., "Успехи матем. наук", 1949, т. 4, н. 2, с. 129-70; [2] П а р а с ю к О. С., там же, 1953, т. 8, в. 3, с. 125-26; [3] Г у р е в и ч Б. М., "Докл. АН СССР", 1961, т. 136, М 4, с. 768-70; [4] Furstenberg H., в кн.: Recent advances in topological dynamics, В.- [u. a.], 1973, p. 95-115; [5] М а r с u s В., "Israel J. Math.", 1975, v. 21, № 2-3, p. 133-44; [6] его же, "Ann. Math.", 1977, v.105, № 1, p. 81 — 105; [7] его же, "Invent, math.", 1978, v. 46, № 3, p. 201-09; [8] Green L. W., "Duke math. J.", 1974, v. 41, № 1, p. 115-26; [9] В о w e n R., "Israel J. Math.", 1976, v. 23, № 3-4, p. 267- 73; [10] Bowen R., Marcus В., там же, 1977, v. 26, № 1, p. 43-67; [11] Ratner M., "Ann. Math.", 1982, v. 115, №3, p. 597-614. Д. В. Аносов.