Параметрических Интегральных Представлений Метод

Метод в геометрич. теории функций комплексного переменного, использующий для решения экстремальных задач в классах функций представление этих классов с помощью интегралов, зависящих от параметров. К таким классам относятся Каратеодори класс, класс однолистных звездообразных в круге функций, класс типично вещественных функций. Функции этих классов имеют параметрич. представление, содержащее интеграл Стилтьеса с заданными действительными числами а, bи функцией g(z, t).(ядро класса), , где М а,b — класс функций, не убывающих на промежутке [ а, b],jm(b)-m(а)=l (m — параметр класса). Для классов функций, имеющих параметрич. представление с помощью интегралов Стилтьеса, получены вариационные формулы, к-рые при решении экстремальных задач в этих классах показывают, что экстремальная функция имеет вид где , причем указывается значение т(см. [1] гл. 11; [3]). При нахождении областей значений функционалов и систем функционалов на таких классах иногда полезны следующие теоремы. 1) Множество Вточек x=(x1, x2, . . ., xn) n-мерного евклидова пространства , допускающих представление где uk(t) — фиксированные непрерывные на [ а, b]действительные функции и , совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой R(U).множества Uточек (теорема Рисcа). 2) Каждая точка может быть представлена в виде где lj>0, j=1, 2, ..., m, , а если , то (теорема Каратеодори). 3) Для того чтобы существовала, по крайней мере, одна неубывающая функция , такая, что где — заданные действительные непрерывные на [ а, b]функции, , — заданные комплексные числа, необходимо и достаточно, чтобы всякий раз, когда при нек-рых комплексных числах выполняется неравенство имело место также и неравенство (теорема Рисса). Приведенные теоремы позволили дать геометрич. и алгебраич. характеристики областей значений систем коэффициентов и отдельных коэффициентов на классах функций, регулярных и имеющих положительную действительную часть в круге (кольце), регулярных и типично вещественных в круге (кольце) и на нек-рых других классах (см. [1] Добавление; [4], [5]). Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Крейн М. Г., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, в. 4, с. 3-120; [3] Лебедев Н. А., Александров И. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1968, т. 94, с. 79-89; [4] Голузина Е. Г., там же, с. 33-46; [5] ее же, "Зап. науч. семинаров Ленингр. отделения Матем. ин-та АН СССР", 1972, т. 24, с. 29-62; 1974, т. 44, с. 17-40; 1980, т. 100, с. 17-25. Е. Г. Голузина.