Питмена Оценка

Эквивариантная статистич. оценка параметра сдвига относительно группы вещественных сдвигов, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь. Пусть компоненты X1, Х 2, . . ., Х п случайного вектора Х= (X1, Х 2, . . ., Х п).суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности к-рого принадлежит семейству причем для любого . Далее, пусть G= — группа вещественных сдвигов, действующая в пространстве реализаций случайной величины Х i(i=l, 2, . . ., n): В таком случае задача оценивания параметра q будет инвариантной относительно квадратичной функции потерь , если в качестве выбрать эквивариантную оценку. Э. Питмен [1] показал, что эквивариантная оценка параметра сдвига q относительно группы G, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь, имеет вид где есть i-я порядковая статистика, построенная по вектору наблюдений X. П. о.- несмещенная оценка, она является минимаксной в классе всех оценок параметра сдвига q при квадратичной функции потерь, если все эквивариантные оценки параметра q имеют конечные функции риска [2]. Пример 1. Если то есть Х i, i=l, 2, . . ., п, подчиняется показательному закону с неизвестным параметром сдвига q, то П. о. для q выражается формулой причем ее дисперсия равна 1/n2. Пример 2. Если то есть Xi, i=l, 2, . . ., п, подчиняется нормальному закону с неизвестным математич. ожиданием q, то в этом случае среднее арифметическое является П. о. Лит.:[1] Рitmаn Е. J., "Biometrika", 1939, v. 30, p. 391 — 421; [2] Girshiсk M. A., Savage L. J., "Proc. Second Berkeley Symp. Math. Statist. Prob.", 1951, p. 53-73; [3] 3акс Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975. М. С. Никулин.