Математическая энциклопедия

Решетка

Решетка
РЕШЕТКА

с т р у к т у р а,- частично упорядоченное множество, в к-ром каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих граней для всякого непустого конечного подмножества.

П р и м е р ы. 1) Линейно упорядоченное множеств М(или цепь), где для ,если , то


2) Подпространства векторного пространства, упорядоченные по включению, где


3) Подмножества данного множества, упорядоченные по включению, где


4) Неотрицательные целые числа, упорядоченные по делимости:, если для нек-рого с, где sup {a, b} - наименьшее общее кратное аи b,a inf {a, b} - наибольший общий делитель аи b.

5) Действительные функции, определенные на отрезке [0, 1] и упорядоченные условием: , если для всех , где

причем а причем
Пусть М- решетка. Мстановится универсальной алгеброй с двумя бинарными операциями, если определить


(вместо + и Х часто употребляются символы и или и ). Эта универсальная алгебра удовлетворяет следующим тождественным соотношениям:


Наоборот, если М - множество с двумя бинарными операциями, обладающими перечисленными выше свойствами , то на Мможно задать порядок , полагая , если а+b=b (при этом окажется, что тогда и только тогда, когда а . b=а). Возникающее частично упорядоченное множество будет Р., причем


Таким образом, Р. можно определить как универсальную алгебру, описываемую тождествами , то есть Р. образует универсальных алгебр многообразие.

Если частично упорядоченное множество рассматривать как малую категорию,то оно оказывается Р. в том и только в том случае, когда для любых двух объектов этой категории существует их произведение и копроизведение

Если Ри Р' - решетки и f - изоморфизм этих частично упорядоченных множеств, то f является также изоморфизмом соответствующих универсальных алгебр, т. е.


для любых . Однако произвольное изотонное отображение решетки Рв решетку Р' не обязано быть гомоморфизмом этих Р., рассматриваемых как универсальные алгебры. Так, для любого отображения и - изотонные отображения решетки Р в себя, являющиеся гомоморфизмами лишь в том и только в том случае, когда Р - дистрибутивная решетка. Впрочем, первое из этих отображений является гомоморфизмом полурешетки Р с операцией , а второе - гомоморфизмом полурешетки Р с операцией . . Совокупность всех Р. образует категорию, если морфизмами считать гомоморфизмы.

А н т и г о м о м о р ф и з м р е ш е т к и Р в решетку Р' есть такое отображение , что


для любых . Последовательное выполнение двух антигомоморфизмов является гомоморфизмом. Частично упорядоченное множество, антиизоморфное Р., есть Р.

Под к о о р д и н а т и з а ц и е й Р. понимают нахождение алгебраической системы (чаще, универсальной алгебры) такой, что данная Р. изоморфна Р. подсистем, Р. конгруэнций или какой-либо другой Р., связанной с этой алгебраич. системой или универсальной алгеброй. Произвольная Р. с 0 и 1 координатизируется частично упорядоченной полугруппой ее резидуальных отображений в себя, оказываясь изоморфной Р. правых аннуляторов этой полугруппы. Сама полугруппа является б э р о в с к о й, т. <е. как правый, так и левый аннулятор каждого из ее элементов порождается идемпотентом.

Наиболее важные результаты получены для Р., подчиненных тем или иным дополнительным ограничениям (см. Алгебраическая решетка, Атомная решетка, Брауэра решетка, Векторная решетка, Дедекиндова решетка, Дистрибутивная решетка, Мультипликативная решетка, Ортомодулярная решетка, Полная решетка, Свободная решетка, Решетка с дополнениями, Булева алгебра). По отдельным вопросам теории Р. см. Идеал, Фильтр, Пополнение сечениями. Особую роль играют алгебраич. образования, являющиеся в то же время Р. (см. Структурно упорядоченная группа). Наибольшее число приложений теории Р. связано с булевыми алгебрами. Другие классы Р. использовались в квантовой механике и физике.

Появление понятия "Р." относится к сер. 19 в. и связано с тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых Р. Как самостоятельное направление алгебры теория Р. сформировалась в 30-х гг. 20 в.

Лит.:[1] Б и р к г о ф Г., Теория решеток, пер. с англ., М., 1983; [2] Г р е т ц е р Г., Общая теория решеток, пер. с англ., М., 1982; [3] С а л и й В. Н., Лекции по теории решеток, Саратов, 1970; [4]С к о р н я к о в Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [5] е г о ж е, Элементы теории структур, 2 изд., М., 1982; [6] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, c. 237-74; [7] Итоги науки. Алгебра, топология, геометрия. 1968, М., 1970, с. 101-54; [8] Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1975; [9] В l у t h Т.. J a n о w i t z М., Residuation theory, N. Y., 1972.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985