Математическая энциклопедия

Решетка

Решетка
РЕШЕТКА

с т р у к т у р а,- частично упорядоченное множество, в к-ром каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих граней для всякого непустого конечного подмножества.

П р и м е р ы. 1) Линейно упорядоченное множеств М(или цепь), где для ,если , то


2) Подпространства векторного пространства, упорядоченные по включению, где


3) Подмножества данного множества, упорядоченные по включению, где


4) Неотрицательные целые числа, упорядоченные по делимости:, если для нек-рого с, где sup {a, b} - наименьшее общее кратное аи b,a inf {a, b} - наибольший общий делитель аи b.

5) Действительные функции, определенные на отрезке [0, 1] и упорядоченные условием: , если для всех , где

причем а причем
Пусть М- решетка. Мстановится универсальной алгеброй с двумя бинарными операциями, если определить


(вместо + и Х часто употребляются символы и или и ). Эта универсальная алгебра удовлетворяет следующим тождественным соотношениям:


Наоборот, если М - множество с двумя бинарными операциями, обладающими перечисленными выше свойствами , то на Мможно задать порядок , полагая , если а+b=b (при этом окажется, что тогда и только тогда, когда а . b=а). Возникающее частично упорядоченное множество будет Р., причем


Таким образом, Р. можно определить как универсальную алгебру, описываемую тождествами , то есть Р. образует универсальных алгебр многообразие.

Если частично упорядоченное множество рассматривать как малую категорию,то оно оказывается Р. в том и только в том случае, когда для любых двух объектов этой категории существует их произведение и копроизведение

Если Ри Р' - решетки и f - изоморфизм этих частично упорядоченных множеств, то f является также изоморфизмом соответствующих универсальных алгебр, т. е.


для любых . Однако произвольное изотонное отображение решетки Рв решетку Р' не обязано быть гомоморфизмом этих Р., рассматриваемых как универсальные алгебры. Так, для любого отображения и - изотонные отображения решетки Р в себя, являющиеся гомоморфизмами лишь в том и только в том случае, когда Р - дистрибутивная решетка. Впрочем, первое из этих отображений является гомоморфизмом полурешетки Р с операцией , а второе - гомоморфизмом полурешетки Р с операцией . . Совокупность всех Р. образует категорию, если морфизмами считать гомоморфизмы.

А н т и г о м о м о р ф и з м р е ш е т к и Р в решетку Р' есть такое отображение , что


для любых . Последовательное выполнение двух антигомоморфизмов является гомоморфизмом. Частично упорядоченное множество, антиизоморфное Р., есть Р.

Под к о о р д и н а т и з а ц и е й Р. понимают нахождение алгебраической системы (чаще, универсальной алгебры) такой, что данная Р. изоморфна Р. подсистем, Р. конгруэнций или какой-либо другой Р., связанной с этой алгебраич. системой или универсальной алгеброй. Произвольная Р. с 0 и 1 координатизируется частично упорядоченной полугруппой ее резидуальных отображений в себя, оказываясь изоморфной Р. правых аннуляторов этой полугруппы. Сама полугруппа является б э р о в с к о й, т. <е. как правый, так и левый аннулятор каждого из ее элементов порождается идемпотентом.

Наиболее важные результаты получены для Р., подчиненных тем или иным дополнительным ограничениям (см. Алгебраическая решетка, Атомная решетка, Брауэра решетка, Векторная решетка, Дедекиндова решетка, Дистрибутивная решетка, Мультипликативная решетка, Ортомодулярная решетка, Полная решетка, Свободная решетка, Решетка с дополнениями, Булева алгебра). По отдельным вопросам теории Р. см. Идеал, Фильтр, Пополнение сечениями. Особую роль играют алгебраич. образования, являющиеся в то же время Р. (см. Структурно упорядоченная группа). Наибольшее число приложений теории Р. связано с булевыми алгебрами. Другие классы Р. использовались в квантовой механике и физике.

Появление понятия "Р." относится к сер. 19 в. и связано с тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых Р. Как самостоятельное направление алгебры теория Р. сформировалась в 30-х гг. 20 в.

Лит.:[1] Б и р к г о ф Г., Теория решеток, пер. с англ., М., 1983; [2] Г р е т ц е р Г., Общая теория решеток, пер. с англ., М., 1982; [3] С а л и й В. Н., Лекции по теории решеток, Саратов, 1970; [4]С к о р н я к о в Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [5] е г о ж е, Элементы теории структур, 2 изд., М., 1982; [6] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, c. 237-74; [7] Итоги науки. Алгебра, топология, геометрия. 1968, М., 1970, с. 101-54; [8] Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1975; [9] В l у t h Т.. J a n о w i t z М., Residuation theory, N. Y., 1972.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985
| Ещё

См. также `Решетка` в других словарях
решетка
сетка; мира, эшелетт, шебеке, чугунное кружево, рустер, трельяж, решетина, решеточка, панджара, решка, ограда, эшелле, колосник, хан, шпалеры, растр
Словарь русских синонимов
ж. 1) а) Переплетающиеся ряды деревянных или металлических полос, прутьев или проволоки. б) Частый забор, ограда из полос, планок, прутьев. 2) Устройство с отверстиями для задерживания чего-л., для прохождения воздуха и т.п. 3) а) То, что имеет перекрещивание, переплетение линий. б) Ажурное плетение или вышивание. 4) разг. Сторона монеты с обозначением ее номинала, обратная гербовому изображению; решка. 5) разг. Употр. как символ тюрьмы.
см. Целочисленная решетка.
решётка
, род. мн. -ток, дат. -ткам, ж.
1.
Заграждение из переплетающихся рядов деревянных или металлических прутьев, полос и т. п.
В стене темнела небольшая ниша, забранная решеткой. А. Н. Толстой, Аэлита.
В обширной камере было полутемно. Два небольших окошка с массивными решетками почти не пропускали света. Н. Островский, Рожденные бурей.
Сквозь поддувальную решетку [печи] начали падать мелкие золотые угольки. Сартаков, Хребты Саянские.
||
Забор, ограда из полос, прутьев.
решетка
РЕШЁТКА -и; мн. род. -ток, дат. -ткам; ж.
1. Заграждение из переплетающихся рядов деревянных или металлических прутьев, полос и т.п. Деревянная, металлическая р. Р. вентилятора. Оконные решётки.
2. Разг. О тюрьме. Попасть за решётку. Сидеть за решёткой.
3. = Ре́шка.
Кристаллическая решётка. Присущее кристаллическому состоянию вещества регулярное расположение частиц.
Решёточка, -и; мн. род. -чек, дат. -чкам; ж. Уме...
-и, ж. Заграждение из планок, прутьев, проволоки (обычно переплетающихся); устройство из таких переплетений или с чередующимися отверстиями. Оконная р. Садовая р. За решетку попасть (в тюрьму; разг.). За решеткой (в тюрьме;разг.). Колосниковая р. (то же, что колосники в 1 знач.; спец.). -4 Кристаллическая решётка — повторяющееся расположение атомов или ионов в кристалле. II прил. решёточный, -ая, -ое.
(или решотка), решётки, ж. 1. Переплетающиеся ряды деревянных или металлических полос, прутьев или проволоки. Окно заделано железной решеткой. Балкон огражден решеткой. || Частый забор, ограда из полос, прутьев. Садовая решетка. 2. В самоваре, в печи: колосники, удерживающие уголь. 3. Ажурное плетение или вышивание (спец.). 4. Сторона монеты, обратная гербовому изображению, решка (разг.). За решетку (посадить), за решеткой (сидеть) (разг.) - перен. в
ж. всякая несплошная вещь, со сквозниной, с промежками, пролетами; ряд установленных жердочек, шестиков, или переложенных, переплетенных вдоль и поперек, либо иным образом; ограда палисадником, из железных прутьев; проволочный переплет, редкая ткань, плетенье; вязанье или шитье режей; плетенье прутяное, камышевое и пр. Садовая решетка красивее забора. Беседка вся из решеток. Оконные решетки. Посадить кого за решетку, взять под стражу. Шитье гладью с решетками, с вырезками и узорочною сеткой. Шашечница решеткой, по осьми клеток в стороне. Медная решетка у камина. Решетка в самоваре, колосники, на чем уголь лежит. Решетка, на горн. заводах, плетеная корзина. Решетка на сиденье стула, рогожка. Поднос обнесен решеточкою. Посади пташку в решетку, твер.-ост. в клетку. Решето ср. решка ж. пенз. барабан, с сетчатым дном, для просевки чего, крупное сито; мучное решето состоит из обечайки, рогожки (лычной, ременной, проволочной) и обруча, которым рогожка нажимается на обечайку. Большое и весьма ...
решётка
сущ., ж., употр. сравн. часто
Морфология: (нет) чего? решётки, чему? решётке, (вижу) что? решётку, чем? решёткой, о чём? о решётке; мн. что? решётки, (нет) чего? решёток, чему? решёткам, (вижу) что? решётки, чем? решётками, о чём? о решётках
1. Решёткой называется заграждение из переплетающихся рядов деревянных или металлических прутьев, полос и т. п.

Деревянная, метал...

решетка от решето́. Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс 1964—1973
Решётка
Образовано суффиксальным способом от .
решетка Искон. Суф. производное от решето. Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа 2004
1) жертвенник всесожжения в скинии до половины своей высоты был окружен сетчатой медной Р. (Исх 27:4,5; 38:4). К четырем углам Р. были прикреплены кольца, в к-рые вдевались шесты (Исх 38:5). см. Алтарь; 2) под Р., о к-рую споткнулся Охозия (4Цар 1:2), подразумеваются перила на крыше или Р. на окне верхних покоев его дома. Подобные Р. устанавливались прежде всего на окнах, располож. на наружной стене дома и выходивших на улицу (Суд 5:28; Притч 7:6; Песн 2:9). см. Дом, строительство дома.
заграждение или отдельное устройство из перекрёстных или переплетённых стержней, проволоки, нитей, прутьев
РЕШЁТКА

в теории чисел, см. Целочисленная решётка.

Естествознание. Энциклопедический словарь
РЕШЕТКА
РЕШЕТКА (управляющая решетка, сетка), перфорированный электрод, помещенный между катодом и анодом ЭЛЕКТРОННОЙ ТРУБКИ (лампы), чтобы управлять потоком электронов в лампе. Этот эффект лежит в основе усиления потока электронов.
Научно-технический энциклопедический словарь
тюpьма, СИЗО
(Суд 5.28; 4Ц 1.2; Пр 7.6; Песн 2.9)-сплошная доска с мелкими (иногда фигурными) отверстиями, которой в древности закрывали окна. Через такую решетку можно было видеть, что делается снаружи, но ничего не было видно внутри помещения. (См. окно)
Что еще интересного в `Математическая энциклопедия` ?
ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКАЯ ТОЧКА такая точка (), принадлежащая области определения функции Гамильтона гамильтоновой системы что решение системы (*), проходящее через эту точку, при асимптотически приближается к нек-рому пе-риодич. решению , а при асимптотически приближается к другому периодич. решению . При этом с...
ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА дедекиндова структура, модулярная решетка (структура),- решетка, в к-рой справедлив модулярный закон, т. е. влечет (a+b)c=а+bс для всякого Ь. Высказанное требование равносильно справедливости тождества ( ас+b) с=ас+bс. Примерами Д. р. служат решетки подпространств линейного пространства, нормальных делителей (но не подгрупп) группы, идеалов кольца и др. Решетка, имеющая композиционный ряд, является Д. р. тогда и только тогда, когда на ней существует функция размерности d...
КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА - раздел математической логики, изучающий рассуждения о конструктивных объектах и конструкциях. При таком понимании К. л. шире, чем логика конструктивной математики. Самое заметное отличие от традиционной (классической) логики состоит в отсутствии исключенного третьего закона и двойного отрицания закона При обозначении систем чистой логики (исчисление высказываний, предикатов) термины "конструктивное", "интуиционистское", "гейтинговское" часто считаются синонимами (...
ЛЕВИ МЕТРИКА - метрика Lв пространстве функций распределения одномерных случайных величин: для любых F,Введена П. Леви (см. [1]). Если между графиками функций Fи Gвписывать квадраты со сторонами, параллельными осям координат (в точках разрыва графики дополняются вертикальными отрезками), то сторона наибольшего из них равна L. Л. м. можно рассматривать как частный случай Леви- Прохорова метрики. Определение Л. м. переносится на множество Мвсевозможных неубывающих функций, заданных на (при...
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X(над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность пи к-рое определяется однородным идеалом I в кольце , арифметический род выражается через свободный член Гильберта многочлена идеала по формуле Это классич. о...
МНОГООБРАЗИЕ категорий - понятие, аналогичное понятию многообразия универсальных алгебр. Пусть - бикатегория с произведениями. Полная подкатегория категории наз. многообразием, если она удовлетворяет следующим условиям: а) если - допустимый мономорфизм и б) если - допустимый эпиморфизм и Направление
НАПРАВЛЕНИЕ - бинарное отношение на множестве Атакое, что 1) если для любых ; 2) для любого всегда ; 3) каковы бы ни были , существует такое, что (свойство Мура - Смита). В. И. Пономарев.
СЛУЧАЙНОЕ КОДИРОВАНИЕ - один из методов кодирования (см. Кодирование и декодирование), при к-ром каждому возможному значению сообщения, вырабатываемому источником сообщений, ставится в соответствие случайно выбранное значение сигнала на входе канала связи. При этом на множестве значений сигналов на входе канала задается нек-рое распределение вероятностей. Часто предполагается, что каждый элемент кода (т. е. значение сигнала на входе, соответствующее данному значению сообщения) в...
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ случайных процессов экстраполяция,- задача об оценке значении случайного процесса X(t)в будущем t>s по его наблюдаемым значениям до текущего момента времени s. Обычно имеют в виду экстраноляционную оценку для к-рой среднеквадратичная ошибка является минимальной в сравнении со всеми другими оценками, составленными по значениям рассматриваемого процесса в прошлом до момента s (прогнозирование наз. линейным, если ограничиваются линейными оценками). Одной из п...
БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО B-множество,- множество, к-рое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологич. пространства. Более точно, борелевским множеством наз. элемент наименьшего замкнутого относительно дополнений счетно аддитивного класса множеств, содержащего замкнутые множества. Другие названия Б. м.: множества, измеримые по Борелю, В - измерим. <ые множества. Открытые и замкнутые множества наз. Б. м....
ФРЕНЕ ФОРМУЛЫ формулы, выражающие производные единичных векторов касательной нормали v и бинормали к регулярной кривой по натуральному параметру s через эти же векторы и значения кривизны k1 и кручения k2 кривой: Получены Ф. Френе (F. Frenet, 1847). Д. Д. Соколов Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
ФРЕНЕЛЯ ИНТЕГРАЛЫ - специальные функции Ф. и. представляют в виде рядов Асимптотич. представление при больших х: В прямоугольной системе координат ( х, y )проекциями кривой где t - действительный параметр, на координатные плоскости являются Корню спираль и кривые (см. рис. 2). Обобщенными Ф. и. (см. [1]) наз. функции вида:...
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ МЕРА - 1) Ц. м. в теории меры в топологических векторных пространствах - конечно аддитивная мера определенная на алгебре цилиндрических множеств в топологическом векторном пространстве Е, т. о. множеств вида где - борелевская s-алгебра подмножеств пространства n=1,2,..., -линейные функционалы на Е, а -отоб...
ВРАЩЕНИИ ИНДИКАТРИСА диаграмма вращений,- одна из 12 Дарбу поверхностей, ассоциированная с бесконечно малым изгибанием поверхности, - множество точек пространства, описываемое радиус-вектором , параллельным вектору вращения (мгновенной угловой скорости), определяемому уравнением -вектор скорости бесконечно малого изгибания поверхности срадиус-вектором . Аналогично вектором перемещений определяется индикатриса (диаграмма) перемещений. Лит...
ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси распределение вероятностей с плотностью где - параметр, принимающий положительные значения, и - гамма-функция Эйлера Соответствующая функция распределения при равна нулю, а при выражается формулой <...