Математическая энциклопедия

Решетка Подалгебр

Решетка Подалгебр
РЕШЕТКА ПОДАЛГЕБР

у н и в е р с а л ь н о й а л г е б р ы А - частично упорядоченное (отношением теоретико-множественного включения) множество Sub A всех подалгебр алгебры А. Для произвольных их супремумом будет подалгебра, порожденная Xи Y, а их инфинумом - пересечение Пересечение подалгебр может быть пустым, поэтому для нек-рых типов алгебр (напр., для полугрупп и решеток) к числу подалгебр относят и пустое множество. Для любой алгебры АР. и. Sub Аявляется алгебраической и обратно, для любой алгебраической решетки Lсуществует алгебра Атакая, что (т е о р е м а Б и р к г о ф а - Ф р и н к а). Любая решетка вло-жима в решетку Sub Адля нек-рой группы А.

Р. п. Sub A - одна из основных производных структур, сопоставляемых алгебре А(наряду с такими структурами, как группа автоморфизмов, полугруппа эндоморфизмов, решетка конгруэнций и т. п.). Проблематика, посвященная изучению связей между алгебрами и их Р. п. делится на такие аспекты: решеточные изоморфизмы, решеточные характеристики тех или иных классов алгебр, исследование алгебр с различными ограничениями на Р. п. Алгебры Аи Вназ. р е ш е т о ч н о и з о м о р ф н ы м и, если ; всякий изоморфизм Sub Ана Sub Вназ. р е ш е т о ч н ы м изоморфизмом (или п р о е к т и р о в а н и е м ) Ана В. Изоморфные алгебры решеточно изоморфны, обратное же далеко не обязательно. Говорят, что алгебра Ар е ш е т о ч н о о п р е д е л я е т с я (в данном классе ), если для любой однотипной с ней алгебры В(из ) из следует . В некоторых случаях (напр., для полугрупп) понятие решеточной определяемости расширяют добавлением в заключение импликации условия "или Вантиизоморфна А", так как антиизоморфные полугруппы также решеточно изоморфны. Классический пример решеточной определяемости доставляет первая основная теорема проективной геометрии (см. [1]), где в качестве Арассматриваются векторные пространства над телами. Решеточно определяющимися являются также всякая абелева группа, содержащая два независимых элемента бесконечного порядка, всякая свободная группа (свободная полугруппа) и группа (полугруппа), нетривиально разложимая в свободное произведение, всякая нильпотентная группа без кручения, всякая коммутативная полугруппа с законом сокращения и без идемпотентов, всякая свободная полугруппа идемпотентов, свободная полурешетка более чем с двумя свободными образующими. При этом нередко оказывается, что каждое проектирование алгебры индуцируется ее изоморфизмом (или антиизоморфизмом). Класс однотипных алгебр может содержать решеточно не определяющиеся алгебры, но обладать тем свойством, что из и вытекает, что ; в этом случае говорят, что решеточно о п р е д е л я е т с я (или р е ш е т о ч н о з а м к н у т); если при этом алгебры Вберутся только из класса , то к соответствующему термину добавляют "в классе ". Среди решеточно замкнутых классов - класс всех разрешимых групп.

Многие ограничения, накладываемые на изучаемые алгебры, формулируются в терминах Р. п.; классический пример - условия минимальности и максимальности для подалгебр. Sub Аудовлетворяет условию максимальности тогда и только тогда, когда все подалгебры в Аконечно порожденные (см. также Группа с условием конечности, Полугруппа с условием конечности). В качестве других накладываемых на Р. п. ограничений рассматриваются такие теоретико-решеточные свойства как дистрибутивность, модулярность, различные виды полумодулярности, условие Жордана - Дедекинда, дополняемость, относительная дополняемость и т. д. Напр., для группы АР. п. дистрибутивна тогда и только тогда, когда Алокально циклическая (т е о р е м а О р е); условия дистрибутивности изучены и в случае полугрупп, ассоциативных колец, модулей, алгебр Ли и др.

Наряду с изоморфизмами Р. п. рассматриваются дуализмы (т. е. антиизоморфизмы), гомоморфизмы. В случае, когда А- топологическая алгебра, наиболее естественно сопоставлять ей решетку всех замкнутых подалгебр; соответствующая проблематика также активно разрабатывается.

Лит.:[1] Б э р Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [2] С у д з у к и М., Строение группы и строение структуры ее подгрупп, пер. с англ., М., 1960; [3] С к о р н я к о в Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [4] К о н П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] С а д о в с к и й Л. Е., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 3, с. 123-57; [6] А р ш и н о в М. Н., С а д о в с к и й Л. Е., там же, 1972, т. 27, в. 6, с. 139-80; [7] Ш е в р и н Л. Н., "Сибирск. матем. ж.", 1962, т. 3, № 3, с. 446-470; [8] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 237-74; [9] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968, М., 1970,с. 101-54; [10] Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1975, с. 50-74. Л. <Н. <Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985