Математическая энциклопедия

Решетка Подалгебр

Решетка Подалгебр
РЕШЕТКА ПОДАЛГЕБР

у н и в е р с а л ь н о й а л г е б р ы А - частично упорядоченное (отношением теоретико-множественного включения) множество Sub A всех подалгебр алгебры А. Для произвольных их супремумом будет подалгебра, порожденная Xи Y, а их инфинумом - пересечение Пересечение подалгебр может быть пустым, поэтому для нек-рых типов алгебр (напр., для полугрупп и решеток) к числу подалгебр относят и пустое множество. Для любой алгебры АР. и. Sub Аявляется алгебраической и обратно, для любой алгебраической решетки Lсуществует алгебра Атакая, что (т е о р е м а Б и р к г о ф а - Ф р и н к а). Любая решетка вло-жима в решетку Sub Адля нек-рой группы А.

Р. п. Sub A - одна из основных производных структур, сопоставляемых алгебре А(наряду с такими структурами, как группа автоморфизмов, полугруппа эндоморфизмов, решетка конгруэнций и т. п.). Проблематика, посвященная изучению связей между алгебрами и их Р. п. делится на такие аспекты: решеточные изоморфизмы, решеточные характеристики тех или иных классов алгебр, исследование алгебр с различными ограничениями на Р. п. Алгебры Аи Вназ. р е ш е т о ч н о и з о м о р ф н ы м и, если ; всякий изоморфизм Sub Ана Sub Вназ. р е ш е т о ч н ы м изоморфизмом (или п р о е к т и р о в а н и е м ) Ана В. Изоморфные алгебры решеточно изоморфны, обратное же далеко не обязательно. Говорят, что алгебра Ар е ш е т о ч н о о п р е д е л я е т с я (в данном классе ), если для любой однотипной с ней алгебры В(из ) из следует . В некоторых случаях (напр., для полугрупп) понятие решеточной определяемости расширяют добавлением в заключение импликации условия "или Вантиизоморфна А", так как антиизоморфные полугруппы также решеточно изоморфны. Классический пример решеточной определяемости доставляет первая основная теорема проективной геометрии (см. [1]), где в качестве Арассматриваются векторные пространства над телами. Решеточно определяющимися являются также всякая абелева группа, содержащая два независимых элемента бесконечного порядка, всякая свободная группа (свободная полугруппа) и группа (полугруппа), нетривиально разложимая в свободное произведение, всякая нильпотентная группа без кручения, всякая коммутативная полугруппа с законом сокращения и без идемпотентов, всякая свободная полугруппа идемпотентов, свободная полурешетка более чем с двумя свободными образующими. При этом нередко оказывается, что каждое проектирование алгебры индуцируется ее изоморфизмом (или антиизоморфизмом). Класс однотипных алгебр может содержать решеточно не определяющиеся алгебры, но обладать тем свойством, что из и вытекает, что ; в этом случае говорят, что решеточно о п р е д е л я е т с я (или р е ш е т о ч н о з а м к н у т); если при этом алгебры Вберутся только из класса , то к соответствующему термину добавляют "в классе ". Среди решеточно замкнутых классов - класс всех разрешимых групп.

Многие ограничения, накладываемые на изучаемые алгебры, формулируются в терминах Р. п.; классический пример - условия минимальности и максимальности для подалгебр. Sub Аудовлетворяет условию максимальности тогда и только тогда, когда все подалгебры в Аконечно порожденные (см. также Группа с условием конечности, Полугруппа с условием конечности). В качестве других накладываемых на Р. п. ограничений рассматриваются такие теоретико-решеточные свойства как дистрибутивность, модулярность, различные виды полумодулярности, условие Жордана - Дедекинда, дополняемость, относительная дополняемость и т. д. Напр., для группы АР. п. дистрибутивна тогда и только тогда, когда Алокально циклическая (т е о р е м а О р е); условия дистрибутивности изучены и в случае полугрупп, ассоциативных колец, модулей, алгебр Ли и др.

Наряду с изоморфизмами Р. п. рассматриваются дуализмы (т. е. антиизоморфизмы), гомоморфизмы. В случае, когда А- топологическая алгебра, наиболее естественно сопоставлять ей решетку всех замкнутых подалгебр; соответствующая проблематика также активно разрабатывается.

Лит.:[1] Б э р Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [2] С у д з у к и М., Строение группы и строение структуры ее подгрупп, пер. с англ., М., 1960; [3] С к о р н я к о в Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [4] К о н П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] С а д о в с к и й Л. Е., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 3, с. 123-57; [6] А р ш и н о в М. Н., С а д о в с к и й Л. Е., там же, 1972, т. 27, в. 6, с. 139-80; [7] Ш е в р и н Л. Н., "Сибирск. матем. ж.", 1962, т. 3, № 3, с. 446-470; [8] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 237-74; [9] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968, М., 1970,с. 101-54; [10] Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1975, с. 50-74. Л. <Н. <Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985
| Ещё

Что еще интересного в `Математическая энциклопедия` ?
АЛГЕБРА ФУНКЦИИ - полупростая коммутативная банахова алгебра А , реализованная в виде алгебры непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов. Если и f - нек-рая функция, определенная на спектре элемента а(т. е. на множестве значений функции есть нек-рая функция на Условие конечно, не обязано выполняться. Если, однако, f - целая функция, то для любого Использование интегральной...
ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ евклидовой геометрии - система аксиом, предложенная в 1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публикации Г. с. а. Д. Гильберт внес в систему аксиом различные изменения и уточнения. Основными (неопределяемыми) понятиями в Г. с. а. являются объекты: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: "принадлежит", "между", "конгруэнтен". Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения у...
КОВАРИАНТ тензора tна конечномерном векторном пространстве V- такое отображение j пространства Ттензоров фиксированного типа на Vв некоторое пространство Sковариантных тензоров на V, что j(g(t))=g(j(t)). для любого невырожденного линейного преобразования gпространства Vи любого Это - определение коварианта тензора относительно полной линейной группы GL(V). Если же gне любое, а принадлежит фиксированной подгруппе то получается определение К. тензора относительно группы G. или просто К. группы...
МЕЛЕРА - ФОКА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - интегральное преобразование вида где - сферич. функция Лежандра 1-го рода. Если - локально интегрируема на то имеет место формула обращения Равенство Парсеваля. Пусть М.-Ф. п. определено равенствами Если , -...
НЕЗАВИСИМОСТЬ в теории вероятностей - одно из важнейших понятий этой теории. Иногда используют термины статистическая независимость, стохастическая независимость. Предположение о Н. рассматриваемых событий, испытаний и случайных величин было обычной предпосылкой в задачах, к-рые рассматривались в математической вероятностей теории со времени ее возникновения. Для двух случайных событий понятие Н. вводится следующим образом. Пусть - два случайных события, - их вероятности. Условную вероятность...
НЕЙМАНА МЕТОД ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ - один из методов доверительного оценивания, позволяющий получать интервальные оценки для неизвестных параметров вероятностных законов по результатам наблюдений. Предложен и развит Ю. Нейманом (см. [1], [2]). Суть метода заключается в следующем. Пусть - случайные величины, совместная функция распределения к-рых зависит от параметра Далее, пусть в качестве точечной оценки параметра используется статистика функция распредел...
ОДНОСТОРОННЯЯ ПРОИЗВОДНАЯ - обобщение понятия производной, в к-рой обычный предел заменяется односторонним пределом. Если для функции f(x)действительного переменного существует то этот предел наз. правой (левой) производной функции f(x) в точке х 0 . В случае равенства этих О. п. функция имеет в точке х 0 обычную производную. См. также Дифференциальное исчисление. Г. П. Толстое. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
ПЛАТО МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА термин, обозначающий серию задач, связанных с изучением экстремалей и глобальных минимумов функционала k-мерного объема , определенного на k-мерных обобщенных поверхностях, вложенных в n-мерное риманово пространство М п и удовлетворяющих тем или иным граничным условиям. В истории развития указанной вариационной задачи (см. Плато задача).выделяются несколько периодов, характеризующихся различными подходами к понятиям "поверхности", "границы",...
ПОЛУСИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС - преж-нее название симплициалыгого множества, данное при первом рассмотрении объектов такого рода. М. И. Войцеховский. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
ПРЕДСТАВЛЕНИИ КОЛЬЦО коммутативное кольцо, определяемое следующим образом. Аддитивная группа П. к. порождена классами эквивалентности представлений группы Gв векторных пространствах, а определяющие соотношения имеют вид p=p1+p2, где p - класс эквивалентности нек-рого представления, p1- класс эквивалентности его подпредставления, а p2- класс эквивалентности соответствующего фактор-представления p; операция умножения в П. к. сопоставляет классам эквивал...
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА группа всех подстановок (биекций) нек-рого множества Xс операцией суперпозиции (см. Подстановок группа). С. г. подстановок множества Xобозначается S(X). Для равномощных Xи X' группы S(X).и S (X').подобны. В случае конечного множества X={1,2, . . ., n} С. г. обозначается Sn. Всякая абстрактная группа изоморфна подходящей подгруппе симметрич. группы S(X).нек-рого множества X(теорема Кэли). Пусть множество Xконечно. Всякая подстановка p на...
БИТ - двоичная единица информации, численно равная количеству информации в испытании с двумя взаимно исключающими равновероятными альтернативами : в случае, если логарифмы берутся по основанию 2. Б. является самой распространенной единицей, но приняты и другие единицы информации - "Хартли" или <<нпт", в определении к-рых используются, соответственно, десятичные или натуральные логарифмы. А. В. Прохоров. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов <...
СРАВНЕНИЕ - соотношение между целыми числами а и и вида a=b+mk, означающее, что их разность а-b делится на заданное целое положительное число т, наз. модулем сравнения; при этом аназ. вычетом целого числа bпо модулю т. Для выражения сравнимости чисел аи bпо модулю тупотребляется символ Если разность а-b не делится на т, то a и bназ. несравнимыми по модулю ти для выражения несравнимости аи bупотребляется символ Наличие С. эквивалентно тому, что аи b имеют одинаковые остатки при делени...
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ МИНИМИЗАЦИЯ представление булевых функций нормальными формами (см. Булевых функций нормальные формы). простейшими относительно нек-рой меры сложности. Обычно под сложностью нормальной формы понимается число букв в ней. В этом случае простейшая форма наз. минимальной. Иногда в качестве меры сложности рассматривается число элементарных конъюнкций в дизъюнктивной нормальной форме или число сомножителей в конъюнктивной нормальной форме. В этом случае простейшая форма на...
ВЕЙЕРШТРАССА КРИТЕРИЙ минимальности поверхности: для того чтобы двумерная поверхность в n-мерном евклидовом пространстве принадлежащая в изотермич. координатах классу , была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы компоненты ее радиус-вектора были гармоннч. функциями от (u, v). И. Х. Сабитов. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...