Самосопряженное Дифференциальное Уравнение

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение l(у)=0, совпадающее с сопряженным дифференциальным уравнением l* (у)=0. Здесь где С m(I)-пространство траз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на I= (a, b); черта означает операцию комплексного сопряжения. Левая часть всякого С. д. у. l(y)=0есть сумма выражений вида где — действительнозначные достаточно гладкие функции, i2= — 1. С. д. у. с действительными коэффициентами — обязательно четного порядка и имеет вид (см. [1] — [3]). Линейная система дифференциальных уравнений с непрерывной комплекснозначной -матрицей A(t)наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если А(t) =-A*(t), где A*(t)-эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t)(см. [1], [4]). Это определение не согласовано с определением С. д. у. Напр., система эквивалентная С. д. у. — самосопряженная только в том случае, если Краевая задача (1) (2) где — линейные и линейно независимые функционалы, описывающие краевые условия, наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, то есть (1) — С. д. у., а для всех и всех k=1,. . ., n (см. [1] — [3], [5]). Если (1), (2) — самосопряженная краевая задача, то справедливо равенство (см. Грина формулы) Для любой пары функций , удовлетворяющей краевым условиям (2). Все собственные значения самосопряженной задачи действительны, а собственные функции j1, j2, отвечающие различным собственным значениям l1,l2, ортогональны Линейная краевая задача (3) где A(t) — непрерывная комплекснозначная матрица, Uесть n-вектор-функционал на пространстве непрерывных комплекснозначных функций х: , наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, т. е. для всех . Самосопряженная краевая задача обладает свойствами, аналогичными свойствам задачи (1), (2) (см. [4]). Понятия С. д. у. и самосопряженной краевой задачи тесно связаны с понятием самосопряженного оператора [6]. С. д. у. и самосопряженная краевая задача определяются также для линейного уравнения с частными производными (см. [5], [7]). Лит.:[1] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [3] К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958;[4] В л а д и м и р ов В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [5] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [6] Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [7] М и х а й л о в В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976. Е. Л. Тонков.