Штурма — Лиувилля Обратная Задача

Задача, в к-рой требуется восстановить функцию (потенциал) q(x)по тем или иным спектральным характеристикам оператора А, порождённого дифференциальным выражением l[у] =-y"+q(x)yи нек-рыми граничными условиями в гильбертовом пространстве L2(a, b), где ( а, b) — конечный или бесконечный интервал изменения переменной х. При этом следует восстановить также вид граничных условий, соответствующих оператору А. При исследовании обратных задач естественно возникают следующие вопросы: 1) выяснить, какие спектральные характеристики однозначно определяют оператор А; 2) дать метод восстановления оператора . но этим спектральным характеристикам; 3) найти харак-теристич. свойства рассматриваемых спектральных характеристик. В зависимости от выбора спектральных характеристик возможны многие различные постановки обратных задач (часто возникавших из приложении). Первый результат по обратным задачам (см. [10]), к-рый положил начало развитию всей теории: пусть — собственные значения задачи причем q(x)-действительная непрерывная на сегменте функция. Если п=0, 1, ... , то Углубленное исследование обратных задач началось в 40-х гг. 20 в. (см. [11], [12]). Пусть — собственные значения уравнения (1) при граничных условиях (h и Н — действительные числа), а — собственные значения уравнения (1) при граничных условиях Тогда последовательности и п=0, 1, ... однозначно определяют функцию q(x)и числа h, h1 и H. Причем если хотя бы одно собственное значение этих задач неопределенно, то все оставшиеся не определяют уравнения (1) однозначно. В частности, один спектр, вообще говоря, но определяет уравнение однозначно (упомянутый выше результат является исключением из общего правила). Если уравнение (1) изучается на полуоси н на потенциальную функцию q(x)наложено условие то решение задачи допускает при асимптотич. представление Функция наз. фазой рассеяния. Основной результат состоит в том, что если задача (рассматриваемая в пространстве не имеет дискретных собственных значений, то фаза рассеяния однозначно определяет потенциальную функцию q(x). При дальнейшем развитии теории обратных задач решающим оказалось то обстоятельство, что был применен аппарат так наз. операторов преобразования (см. Штурма — Лиувилля уравнение), к-рый естественно возник в рамках теории операторов обобщённого сдвига (см. [4]). Применение операторов преобразования к обратным задачам (см. [13]) позволило обобщить вышеприведенные теоремы, а именно, оказалось, что наиболее общей обратной задачей является задача восстановления уравнения (1) но его спектральной функции (см. Штурма — Лиувилля задача). Выяснилось, что спектральная функция определяет это уравнение однозначно. При этом безразлично, рассматривается случай конечного или бесконечного интервала. В принципе все обратные задачи могут быть сведены к обратной задаче восстановления оператора по его спектральной функции. Однако такой путь не всегда является самым простым; кроме того, на этом пути часто трудно бывает найти необходимые и достаточные условия, к-рым должны удовлетворять рассматриваемые спектральные характеристики, по к-рым восстанавливается оператор. Значение обратных задач возросло после открытия возможности их использования для решения нек-рых нелинейных эволюционных уравнений математич. физики. В частности, была установлена связь (см. [25]) между обратными задачами для нек-рых операторов Штурма — Лиувилля с конечным числом лакун в спектре и проблемой обращения Якоби абелевых интегралов. Развитие этих идей в последнее время позволило получить явные формулы для конечнозонных потенциалов, выражающие их через -функции Римана (см. [1], [5]). Ниже рассматриваются два варианта постановки и решения обратных задач. 1. По известной спектральной функции требуется найти дифференциальное выражение вида с действительным локально суммируемым потенциалом и число hиз граничного условия Для решения этой задачи полагают Оказывается, что интегральное уравнение при каждом фиксированном химеет единственное решение К( х, у). Потенциал q(x)определяется по формуле а число h, участвующее в (3),- по формуле h=K(0, 0) (см. [14]). Решение уравнения удовлетворяющее граничным условиям и . можно найти по формуле Далее, неубывающая функция тогда и только тогда является спектральной функцией для нек-рой задачи вида y'(0)-hу(0)=0 с действительной функцией q(x), имеющей тлокально суммируемых производных, и действительным числом h, когда функция Ф(х), построенная по формулой (4), имеет т+3 локально суммируемых производных и Ф"(+0)=-. (см. [14], [17], [9]). В ряде частных случаев функции можно эффективно найти q(х)и h. Напр., пусть где если и если — поло жительное число. В этом случае интегральное уравнение (5) будет уравнением с вырожденным ядром и его решение Теперь функция q(x)и число . определяются формулами 2. Пусть действительная функция q(x) удовлетворяет неравенству Тогда граничная задача имеет ограниченные решения при и k=1, ... , n, причем эти решения удовлетворяют при асимптотич. формулам mk > 0, k=1, ..., п. Набор величин наз. данными рассеяния граничной задачи (7), (7'). Требуется восстановить потенциал q(x)по данным рассеяния. Для решения этой задачи строят функцию F(x) по формуле и рассматривают уравнение Это уравнение имеет единственное решение К( х, у )при каждом Решив его, определяют потенциал q(x) по формуле Для того чтобы набор величин был данными рассеяния нек-рой граничной задачи вида (7), (7') с действительным потенциалом q(x), удовлетворяющим условию (6), необходимо и достаточно выполнение следующих условий (см. [1]): а) функция непрерывна на всей оси, стремится к нулю при и является преобразованием Фурье функции представлмой в виде суммы двух функций, из к-рых одна принадлежит а другая ограничена и принадлежит На полуоси функция FS(x)имеет производную Р'S (х). удовлетворяющую условию б) приращение аргумента функции связано с числом потрицательных собственных значений (т. е. чисел граничной задачи (7), (7') формулой Интегральное уравнение (8) для К( х, у )допускает явное решение в случае, когда — рациональная функция. Решения уравнения (7) и потенциал q(x)получаются в атом случае в виде рациональных функций от тригонометрич. и гиперболич. функций. Напр., если то соответствующий потенциал имеет вид Лит.:[1] Марченко В. А., Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения, К., 1977: [2] Агранович З. С., Марченко В. А., Обратная задача теории рассеяния, Харьков, 1960; [3] IIIадан И., Сабатье П., Обратные задачи в квантовой теории рассеяния, пер. с англ., М., 1980; [4] Левитан Б. М., Теория операторов обобщенного сдвига, М., 1973; [5] Теория солитонов: метод обратной задачи, М., 1980; [6] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. К., 1965; [7] Фаддеев Л. Д., лУспехи матем. наук