Сильно Непрерывная Полугруппа

Семейство линейных ограниченных операторов T(t), t>0, в банаховом пространстве X, обладающее свойствами: 1) 2) функции Т(t)xнепрерывны на при любом При выполнении 1) из измеримости всех функций , и, в частности, из односторонней (справа или слева) слабой непрерывности следует сильная непрерывность T(t). Для С. н. п. конечное число наз. т и п о м п о л у г р у п п ы. Таким образом, нормы всех функций Т(t)xрастут на не быстрее экспоненты . Классификация С. н. п. основана на их поведении при . Если существует такой ограниченный оператор J, что при то J — проекционный оператор и , где А — ограниченный линейный оператор, коммутирующий с J. В этом случае Т(t)непрерывна по норме операторов. Если J=J, то ,- равномерно непрерывная группа операторов. Если при каждом , то J- также проекционный оператор, проектирующий Xна подпространство Х 0 — замыкание объединения всех значений . Для того чтобы J существовал и равнялся J, необходимо и достаточно, чтобы была ограничена на (0,1) и чтобы Х 0=Х. В этом случае полугруппа T(t),доопределенная равенством T(0)=I, сильно непрерывна при (удовлетворяет С 0 -у с л о в и ю). Для более широких классов полугрупп предельное соотношение выполняется в обобщенном смысле: (суммируемость по Чезаро, С 1 -у с л о в и е), или (суммируемость по Абелю, А-условие). При этом предполагается, что функции , интегрируемы на [0,1] (а значит, и на любом конечном отрезке). Поведение С. н. п. при может быть совсем нерегулярным. Напр., функции могут иметь при t=0степенную особенность. Для плотного в Х 0 множества элементов хфункции Т(t)xдифференцируемы на . Важную роль играют С. н. п., для к-рых функции Т(t)xдифференцируемы при всех хдля t>0. В этом случае оператор Т'(t)ограничен при каждом tи его поведение при дает новые возможности для классификации полугрупп. Выделены классы С. н. п., для к-рых Т(t)допускает голоморфное продолжение в сектор комплексной плоскости, содержащий полуось . См. Полугруппа операторов, Производящий оператор полугруппы. Лит.:[1] X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962. С. Г. Крейн.