Математическая энциклопедия

Свертка

Свертка
СВЕРТКА

ф у н к ц и й f (x) и g (x), принадлежащих ,- функция h(x), определяемая равенством


и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g определена почти всюду и также принадлежит Свертка обладает основными свойствами операции умножения, а именно:


для любых трех функций из . Поэтому с обычным сложением и умножением на число, с операцией С. в качестве умножения элементов из и с нормой


превращается в банахову алгебру (при такой норме . Если F[f] - преобразование Фурье функции f, то и это используется при решении ряда прикладных задач. Так, если задача сведена к интегральному уравнению вида

(*) где

то в предположении, что , применяя к уравнению (*) преобразование Фурье, получают


откуда

и обратное преобразование Фурье приводит к решению


уравнения (*).

Свойства С. функций находят важные приложения в теории вероятностей. Если f(x)и g(x)являются плотностями вероятности независимых случайных величин Xи Y, то С. (f*g)xесть плотность вероятности случайной величины X+Y.

Операция С. распространяется на обобщенные функции. Если fи g - обобщенные функции, из к-рых по крайней мере одна имеет компактный носитель, и j (х)принадлежит пространству основных функций, то f*g определяется равенством


где - прямое произведение обобщенных функций f и g,т. е. функционал в пространстве основных функций двух независимых переменных такой, что


для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции и(х, у).

С . обобщенных функций также обладает свойством коммутативности, линейности по каждому аргументу, а если по крайней мере две из трех обобщенных функций имеют компактные носители, то и свойством ассоциативности. Справедливы равенства:


где Dоператор дифференцирования и a - любой мультииндекс, , в частности , где d - дельта-функция, и если fn, n=1, 2,. . .,- обобщенные функции такие, что и существует компакт

то

Наконец, если g - финитная обобщенная функция и f - обобщенная функция медленного роста, то к f*g применимо преобразование Фурье и снова


С. обобщенных функций широко используется при решении краевых задач для уравнений с частными производными. Так, интеграл Пуассона, написанный в виде


дает решение уравнения теплопроводности для бесконечного стержня, когда начальная температура m(х)может быть не только обычной, но и обобщенной функцией.

Понятие С. как обычных, так и обобщенных функций естественным образом переносится на случай функций многих независимых переменных: надо в предыдущем считать х, у не действительными числами, а векторами из

Лит.:[1] В л а д и м и р о в В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [2] Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1958; [3] Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948. В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985
| Ещё

См. также `Свертка` в других словарях
свертка
сущ., кол-во синонимов: (1)
↑свертывание (30)
Словарь синонимов ASIS, , 2010
ж. разг. Действие по знач. глаг.: свертеть (1*1).
свёртка
, ж.
Действие по глаг. свертеть, свернуть и свертывать (см. свернуть в 1 и 2 знач.).
Он много важности придавал свертке, говорил даже, что она изменяет до некоторой степени вкус самого табаку. И. Гончаров, Фрегат «Паллада».
Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР 1957—1984
свертка
СВЁРТКА см. Свернуть.
Большой толковый словарь русского языка. - 1-е изд-е: СПб.: Норинт 1998
свёртки, ж. (обл.). То же, что сверток во 2 знач.
Что еще интересного в `Математическая энциклопедия` ?
ДЕЛИТЕЛЕЙ ПРОБЛЕМЫ - проблемы теории чисел, касающиеся асимптотич. поведения сумматорных функций (где t(n) - число делителей п, а tk (п), k>2,- число представлений пв виде произведения кнатуральных чисел), а также модификаций этих функций. Проблема делителей Дирихле - проблема наилучшей оценки остаточного члена D(х)в асимптотич. формуле где С- Эйлера постоянная. Асимптотика суммы впервые рассмотрена П. Дирихле (P. Dirichlet) в 1849. Он исходил из того, что дан...
ДИСПЕРСНОЕ ПРОСТРАНСТВО наследственно несвязное пространство,- топологическое пространство, не содержащее неодноточечных связных множеств. А. А. Мальцев. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ - выражение, составленное из одной или нескольких функций, Их частных производных по независимым переменным различных порядков, а иногда и дифференциалов этих переменных, инвариантных относительно того или иного преобразования. Пусть в дифференцируемом многообразии Х n элементом к-рого является точка (u1, и 2, ..., и n), задан геометрический объект Q(см. Геометрических объектов теория). Геометрич. объект со т...
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СЕРИЯ представлений- семейство неприводимых непрерывных унитарных представлений локально компактной группы G, ненулевые матричные элементы к-рых не могут быть аппроксимированы конечными линейными комбинациями матричных элементов регулярного представления группы Gв топологии равномерной сходимости на компактах в G. Д. с. группы Gнепуста в том и только в том случае, если Gне аменабельна, т. е. если на пространстве не существует нетривиального левоинвариантного среднего (см. [2])....
ИНВЕРСНАЯ ПОЛУГРУППА - полугруппа, в к-рой для любого элемента асуществует единственный инверсный к нему элемент а -1 (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть инверсной эквивалентно каждому из следующих: S регулярная полугруппа и любые два ее идемпотента перестановочны (таким образом, множество всех идемпотентов И. п. есть полурешетка, см. Идемпотентов полугруппа);каждый левый и каждый правый главные идеалы полугруппы Sимеют единственный порождаю...
КОНСТАНТА в математической логике - символ формального языка для обозначения некоторого фиксированного элемента (индивида), фиксированной операции или отношения на какой-либо структуре, описываемой этим языком. В соответствии с этим различают индивидные константы, функциональные константы и предикатные константы. Совокупность всех К. языка наз. сигнатурой этого языка. Напр., сигнатура языка арифметики формальной состоит из индивидной К. "О" (нуль), двуместных функциональных К. "+" (сложение)...
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ РАСКРЫТИЕ - методы вычисления пределов функций, заданных формулами, к-рые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, т. е. переходят в выражения типа по к-рым нельзя судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Основным инструментом для раскрытия неопределенностей служит Тейлора формула, с помощью к-рой выделяется главная часть функции. Так, в случае неопр...
НОРМАЛЬНЫЙ МОНОМОРФИЗМ - морфизм, обладающий характеристическим свойством вложения группы (кольца) в группу (кольцо) в качестве нормального делителя (идеала). Пусть - категория с нулевыми морфизмами. Морфизм наз. нормальным мономорфизмом, если всякий морфизм для которого из всегда следует однозначно представим в виде Ядро любого морфизма является Н. м. Обратное в общем случае неверн...
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ связные полные римановы пространства постоянной кривизны. Проблема классификации n-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована В. Киллингом (W. Killing, 1891), к-рый назвал ее проблем ой пространственных форм Клиффорда - Клейна; современная формулировка этой проблемы дана Х. Хопфом (Н. Hopf, 1925). Примеры П. ф.: евклидово пространство Е п размерности песть П. ф. нулевой кривизны (так называемое плоское пространство);...
АВТОМАТ КОНЕЧНЫЙ математическая модель устройства с конечной памятью, преобразующего дискретную информацию. А. к. является одним из важнейших видов управляющих сиcтем. Содержательно А. к. можно охарактеризовать как устройство, имеющее входной и выходной каналы и находящееся в каждый из моментов дискретного времени, наз. тактовыми моментами, в одном из псостояний По входному каналу в каждый тактовый момент в устройство поступают сигналы - буквы входного алфавита. В те же моменты по выходному к...
СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия). Краевая задача для гиперболич. уравнений и систем, заданных в нек-рой области Dевклидова пространства наз. смешанной, или начально-краевой, если искомое решение, наряду с краевыми условиями, должно удовлетворять и начал...
ТЕСТОВАЯ СТАТИСТИКА - статистика статистического критерия. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
ТОПОЛОГИЯ ВЛОЖЕНИЙ топологические вложения,- раздел топологии, в к-ром изучаются локальные топологич. свойства расположений замкнутых подмножеств евклидова пространства или многообразия. Теория Т. в. возникла в работах А. <Шёнфлиса (A. Schoenflies), Л. Антуана (L. Antoine), П. С. Урысона и Дж. Александера (J. Alexander). Вложения в Е 3 были изучены в 50-х гг. В частности, было доказано, что любое Т. в. поверхности в Е 3 аппроксимируется полиэдральным вложением. Систематич...
ВПОЛНЕ ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ непрерывное отображение обладающее следующим свойством: для любой точки и всякого такого конечного семейства открытых подмножеств пространства , что множество открыто. При этом через обозначается малый образ множества О i относительно отображения f. Всякое В. з....
ВЫРОЖДЕННАЯ ИГРА - бескоалиционная игра п лиц, в к-рой функция выигрыша каждого игрока iвырождена, т. е. имеет вид где - функции, заданные на множестве чистых стратегий игрока В случае антагонистических В. и. на единичном квадрате функция выигрыша игрока I равна Такая...