Математическая энциклопедия

Свертка

Свертка
СВЕРТКА

ф у н к ц и й f (x) и g (x), принадлежащих ,- функция h(x), определяемая равенством


и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g определена почти всюду и также принадлежит Свертка обладает основными свойствами операции умножения, а именно:


для любых трех функций из . Поэтому с обычным сложением и умножением на число, с операцией С. в качестве умножения элементов из и с нормой


превращается в банахову алгебру (при такой норме . Если F[f] - преобразование Фурье функции f, то и это используется при решении ряда прикладных задач. Так, если задача сведена к интегральному уравнению вида

(*) где

то в предположении, что , применяя к уравнению (*) преобразование Фурье, получают


откуда

и обратное преобразование Фурье приводит к решению


уравнения (*).

Свойства С. функций находят важные приложения в теории вероятностей. Если f(x)и g(x)являются плотностями вероятности независимых случайных величин Xи Y, то С. (f*g)xесть плотность вероятности случайной величины X+Y.

Операция С. распространяется на обобщенные функции. Если fи g - обобщенные функции, из к-рых по крайней мере одна имеет компактный носитель, и j (х)принадлежит пространству основных функций, то f*g определяется равенством


где - прямое произведение обобщенных функций f и g,т. е. функционал в пространстве основных функций двух независимых переменных такой, что


для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции и(х, у).

С . обобщенных функций также обладает свойством коммутативности, линейности по каждому аргументу, а если по крайней мере две из трех обобщенных функций имеют компактные носители, то и свойством ассоциативности. Справедливы равенства:


где Dоператор дифференцирования и a - любой мультииндекс, , в частности , где d - дельта-функция, и если fn, n=1, 2,. . .,- обобщенные функции такие, что и существует компакт

то

Наконец, если g - финитная обобщенная функция и f - обобщенная функция медленного роста, то к f*g применимо преобразование Фурье и снова


С. обобщенных функций широко используется при решении краевых задач для уравнений с частными производными. Так, интеграл Пуассона, написанный в виде


дает решение уравнения теплопроводности для бесконечного стержня, когда начальная температура m(х)может быть не только обычной, но и обобщенной функцией.

Понятие С. как обычных, так и обобщенных функций естественным образом переносится на случай функций многих независимых переменных: надо в предыдущем считать х, у не действительными числами, а векторами из

Лит.:[1] В л а д и м и р о в В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [2] Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1958; [3] Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948. В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985

См. также `Свертка` в других словарях
свертка
СВЁРТКА см. Свернуть.
Большой толковый словарь русского языка. - 1-е изд-е: СПб.: Норинт 1998
ж. разг. Действие по знач. глаг.: свертеть (1*1).
свёртка
свёртка,
свёртки,
свёртки,
свёрток,
свёртке,
свёрткам,
свёртку,
свёртки,
свёрткой,
свёрткою,
свёртками,
свёртке,
свёртках
(Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку»)

.

свёртки, ж. (обл.). То же, что сверток во 2 знач.
1. В функциональном анализе - это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой.
свёртка
свёртка

Русское словесное ударение. — М.: ЭНАС. . 2001.

свёртка
, ж.
Действие по глаг. свертеть, свернуть и свертывать (см. свернуть в 1 и 2 знач.).
Он много важности придавал свертке, говорил даже, что она изменяет до некоторой степени вкус самого табаку. И. Гончаров, Фрегат «Паллада».
Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР 1957—1984
свертка
сущ., кол-во синонимов: (1)
↑свертывание (30)
Словарь синонимов ASIS, , 2010