Валле Пуссена Сингулярный Интеграл

Интеграл вида (см. также Балле Пуссена метод суммирования). Последовательность равномерно сходится к для функций , непрерывных и -периодических на (см. [1]). Если в точке х, то при . Справедливо равенство [2]: Лит.:[1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пёр. с англ., М., 1951; [2] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949, с. 263. П. П. Коровкин. БАЛЛЕ ПУССЕНА СУММА — выражение где — частные суммы Фурье ряда функции периода . При В. П. с. совпадают с частными суммами Фурье, а при p= n — с Фейера суммами. Метод приближения периодич. функций полиномами вида (*) впервые рассмотрел Ш. Балле Пуссен (см. [1], [2]); он же установил неравенство где — наилучшее равномерное приближение функции при помощи тригонометрия, полиномов порядка не выше т. Если , , [а] — целая часть числа а, то полиномы осуществляют приближение, имеющее порядок . К непрерывным функциям периода , для к-рых при некоторых имеет место оценка , полиномы дают наилучшее по порядку приближение. В. П. с. обладают рядом свойств, представляющих интерес для теории суммирования рядов Фурье. Напр., если то max а если — тригонометрия, полином порядка не выше . В. П. с. можно записать в виде где выражения наз. ядрами Балле Пуссена. Лит.:[l] La Vallee Poussin С h. J., "С. r. Acad. sci.", 1918, t. 166, p. 799-802; [2] eго же, Lecons sur I'approximation des fonctions d'une variable reele, P., 1919; t3] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949, с. 211 — 13; [4] Коровкин П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959, с. 150-59; [5] Никольский С. М., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1940, т. 4, № 6, с. 509-20; [6] Стечкин С. Б., "Докл. АН СССР", 1951, т. 80, № 4, с. 545-48; [7] Щербина А. Д., "Матем. сб.", 1950, т. 27, в. 2, с. 157-70; [8] Тиман А. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1953, 17, N" 1, с. 99-134; [9] его же, Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [10] Ефимов А. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.," 1959.- 23, № 5, с. 737-70; [11] его же, там же, 1960, 24, № 3, с. 431-68; [12] Теляковский С. А., "Докл. АН СССР", 1958, т. 121, № 3, с. 426-29; [13] его же, там же, 1960. т. 131, № 2, С. 259-62. А. В. Ефимов.