Математическая энциклопедия

Жордана - Гёльдера Теорема

Жордана - Гёльдера Теорема
ЖОРДАНА - èЛЬДЕРА ТЕОРЕМА

если группа обладает композиционными рядами, то любые два ее композиционных ряда изоморфны. К. Жордан [1], [2] и О. Гёльдер [3], занимаясь вопросом о разрешимости уравнений в радикалах (см. Галуа теория), исследовали группы подстановок. Для этих групп К. Жордан ввел понятие композиционного и главного рядов и доказал, что индексы двух одноименных рядов (т. е. индексы подгруппы Gi в Gi+1), с точностью до расположения, одинаковы. Иными словами, было доказано совпадение последовательностей порядков факторов двух композиционных (главных) рядов с точностью до расположения. О. Гёльдер доказал изоморфизм соответствующих факторов. О. Шрейером [4] было доказано еще более общее утверждение: любые два нормальных ряда произвольной группы обладают изоморфными уплотнениями (теорема Шрейера). Ж.- Г. т. была доказана также для групп с произвольной областью операторов (Э. Нётер, Е. Noether, В. Крулль, W. Krull), откуда, в частности, вытекали аналогичные теоремы для характеристических и вполне характеристич. рядов.

В дальнейшем обобщения Ж.- Г. т. пошли по следующим направлениям. 1) Были получены обобщения теорем Шрейера и Жордана - Гёльдера для бесконечных нормальных систем и, в частности, вполне упорядоченных нормальных и композиционных рядов, а также доказано, что все возрастающие нормальные ряды группы с простыми факторами изоморфны (эти ряды могут и не быть композиционными) (см. [5]). 2) Ж.- Г. т. была перенесена на ряды идеалов колец и других алгебраич. образований. Эти направления объединились рядом результатов для W-групп (мультиоператорных групп), W-алгебр и для универсальных алгебр с одноэлементной подалгеброй и перестановочными конгруэнциями (см. [5] - [8]). 3) Рассматривались различные способы обобщения Ж.- Г. т. на языке теории решеток и частично упорядоченных множеств. Получено обобщение теоремы Шрейера для цепочек элементов дедекиндовых решеток. В ряде работ для определения нормального ряда элементов решетки вводилось дополнительное отношение нормальности или операция умножения (см. [5], [6], [9] - [И]). 4) Были получены обобщения Ж.- Г. т. и теоремы Шрейера для нормальных категорий (см. [8]).

Лит.:[1] Jоrdan С, "С. r. Acad. sci.", 1869, t. 68, p. 257; [2] eго же, Traite des substitutions et des equations algebriques, P., 1870 (2 ed., 1957); [3] Holder O., "Math. Ann.", 1889, Bd 34, S. 26-56; [4] Sсhreier O., "Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg", 1928, Bd 6, № 3-4, S. 300-02; [5] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [6] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [7] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [8] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974; [9] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 237-74; [10] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1966, М., 1968, с. 109- 136; 1968, М., 1970, с. 101-54; [11] Фофанова Т. С, в сб.: Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1974, с. 99 - 108.

И. В. Стеллецкий.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985