Математическая энциклопедия

Жордана Разложение

Жордана Разложение
ЖОРДАНА РАЗЛОЖЕНИЕ

- 1) Ж. р. функции ограниченной вариации - представление функции f в виде

где f1 и f2 - монотонно возрастающие функции. Ж. р. наз. также представление обобщенной меры, или зарядаm(Е)измеримого множества Ев виде разности мер

где хотя бы одна из мерm+ или m- конечна. Установлено К. Жорданом.

Лит.:[1] Jordan С, Cours d'analyse, t. 1, P., 1893; [2] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.

М. И. Войцеховский.

2) Ж. р. эндоморфизма gконечномерного векторного пространства - представление этого эндоморфизма в виде суммы полупростого и нильпотентного эндоморфизмов, коммутирующих между собой: g=gs+gn. Эндоморфизмы gs и gn наз. соответственно полупростой и нильпотентной компонентами Ж. р. эндоморфизма g. Такое представление наз. аддитивным Ж. р. (Полупростой эндоморфизм - эндоморфизм, обладающий при нек-ром расширении основного поля базисом из собственных векторов, нильпотентный - равный в некоторой степени нулю.) Если в нек-ром базисе пространства матрица || а ij|| эндоморфизма gявляется жордановой матрицей, а t- такой эндоморфизм, что в том же базисе его матрица имеет вид ||bij||, где bij=0 при всех и bii=±aii для всех i, то будет Ж. р. эндоморфизма gс gs=gn=g- t.

Ж. р. существует и единственно для любого эндоморфизма gвекторного пространства Vнад алгебраически замкнутым полем К. Более того, gs-P(g)и gn=Q(g)для некоторых многочленов Ри Qнад полем К(зависящих от g)с нулевыми свободными членами. Если Wинвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и gn, причем

является Ж. р. для g|W (здесь |W обозначает сужение эндоморфизма на подпространство W). Если k- подполе в Ки gрационально над к (относительно некоторой k-структуры на V), то gs и gn не будут, вообще говоря, рациональными над k;можно лишь утверждать, что gs и gn рациональны над полем kp-°°, где , р- характеристическая экспонента поля к(при р = 1 совпадает с к, а при р>1 это - множество всех элементов из К, чисто несепарабельных над k).

Если g- автоморфизм пространства V, то gs- также автоморфизм Vи где - тождественный автоморфизм пространства V. Автоморфизм gu является унипотентным, т. е. все его собственные значения равны единице. Всякое представление автоморфизма g в виде произведения коммутирующих полупростого и унипотентного автоморфизмов совпадает с описанным представлением g=gsgu=gugs. Это представление наз. мультипликативным Ж. р. автоморфизма g,a gs и gu- полупростой и унппотентной компонентой автоморфизма g. Если gрационален над k, то gs и ga рациональны над Если W - инвариантное относительно gподпространство в V, то Wинвариантно относительно gs и ga,a - мультипликативное Ж. р. автоморфизма g|W.

Понятие Ж. р. может быть обобщено на локально конечные эндоморфизмы бесконечномерного векторного пространства V, т. е. такие эндоморфизмы g, что Vпорождается конечномерными g-инвариантными подпространствами. Для gимеют место существование и единственность представления в виде суммы gs+gn, а в случае автоморфизма - в виде произведения gsgu, коммутирующих локально конечных полупростого и нильпотентного эндоморфизмов (соответственно полупростого и унипотентного автоморфизмов), т. е. таких эндоморфизмов, что любое конечномерное g-инвариантное подпространство Wв Vинвариантно относительно gs и gn (соответственно gs и gu)n g|W= gs|W+gn|W (соответственно g|W=gs|W gu|W есть Ж. р. для gw).

Указанное распространение понятия Ж. р. на локально конечные эндоморфизмы позволяет ввести определение Ж. р. в алгебраич. группах и алгебраич. алгебрах Ли. Пусть G- аффинная алгебраич. группа над К,- ее алгебра Ли, р - представление Gв группу автоморфизмов алгебры K[G]. регулярных функций на G, определенное правыми сдвигами, и dp- его дифференциал. Для любых gиз Gи Xиз эндоморфизмы r(g). и dr(X). векторного пространства K[G]являются локально конечными, поэтому можно говорить об их Ж. р.:

и

Один из важных результатов теории алгебраич. групп состоит в том, что указанные Ж. р. реализуются с помощью элементов из Gи соответственно. Точнее, существуют однозначно определенные элементы gs, и Xs, такие, что

и