Математическая энциклопедия

Жордана Теорема

Жордана Теорема
ЖОРДАНА ТЕОРЕМА

плоская простая замкнутая кривая Г разбивает плоскость R.2 на две связные компоненты и является их общей границей. Установлена К. Жорданом [1]. Вместе с примыкающим к ней утверждением: простая дуга не разбивает плоскость, это - старейшая теорема теоретико-множественной топологии.

Из двух компонент одна (внутренность Г) - ограниченная; характеризуется тем, что порядок любой точки, ей принадлежащей, относительно Г равен другая (внешность Г) - неограниченная, и порядок ее точек относительно Г равен нулю. Для любой точки хограниченной компоненты Аи любой точки существует простая дуга с концами х 0 и х, все точки к-рой, отличные от х 0, содержатся в А(теорема Шёнфлиса).

Ж. т. обобщается по размерности: любое (N-1)-мерное подмногообразие в RN, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две компоненты и является их общей границей; при N=3 это доказано А. Лебегом (HlLebesgue), в общем случае - Л. Брауэром (L. Brouwer), отчего N-мерная Ж. т. иногда наз. Жордана- Брауэра теоремой.

Лит.:[1] Jordan С, Cours d'analyse, t. I, P., 1893; [2] Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 2, Л.- М., 1933; [3] Александров П. С, Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; [4] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [5] Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [6] Филиппов А. Ф., "Успехи матем. наук", 1950, т. 5, в. 5, с. 173 -76.

М. И. Войцеховспий.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985