Идеал

I

Идеа́л (франц. idéal, от греч. idéa — идея, первообраз)

идеальный образ, определяющий способ мышления и деятельности человека или общественного класса. Формирование природы сообразно И. представляет собой специфически-человеческую форму жизнедеятельности, ибо предполагает специальное создание образа цели деятельности до её фактического осуществления.

Проблема И. была обстоятельно разработана в немецкой классической философии. Наиболее остро она была поставлена И. Кантом в связи с проблемой «внутренней цели». Согласно Канту, явления, не имеющие цели, которая могла бы быть представлена образно, не могут иметь и идеала. Единственным существом, действующим по «внутренней цели», является человек как представитель рода. В животном внутренняя целесообразность осуществляется бессознательно и потому не обретает форму И., особого образа цели. Согласно Канту, И. как воображаемое (достигнутое в воображении) совершенство человеческого рода характеризуется полным и абсолютным преодолением всех противоречий между индивидом и обществом, то есть между индивидами, составляющими «род». Таким образом, осуществление И. совпадало бы с концом истории. В силу этого И., по Канту, принципиально недостижим и представляет собой только «идею» регулятивного порядка. Он указывает скорее направление на цель, чем задаёт образ самой цели, и потому руководит человеком скорее как чувство верного направления, чем как ясный образ результата. Только в искусстве И. может и должен быть представлен в виде образа — в форме прекрасного (См. Прекрасное). И. науки («чистого разума») задаётся в виде принципа «запрета противоречия», моральный И. («практического разума») — в форме категорического императива (См. Категорический императив). Ни там, ни здесь наглядно представить себе состояние, соответствующее И., нельзя, ибо оно неосуществимо в течение сколь угодно длительного, но конечного времени. Поэтому И. и «прекрасное» становятся синонимами, и жизнь И. допускается только в искусстве. Эти идеи Канта получили развитие в соч. Ф. Шиллера, И. Г. Фихте, Ф. В. Шеллинга и немецких романтиков.

Г. Гегель, остро понявший бессилие кантовского представления об И., развенчал его как абстракцию, выражающую на деле один из моментов развивающейся действительности «духа» (то есть истории духовной культуры человечества) и противопоставленную другой такой же абстракции — «эмпирической действительности», якобы принципиально враждебной И. и несовместимой с ним. И. становится у Гегеля моментом действительности, образом человеческого духа, вечно развивающегося через свои имманентные противоречия, преодолевающего свои собственные порождения, свои «отчуждённые» состояния, а не изначально внешнюю и враждебную ему «эмпирическую действительность». И. науки (научного мышления) поэтому может и должен быть задан в виде системы логики, а И. практического разума — в виде образа разумно устроенного государства, а не в виде формальных и принципиально неосуществимых абстрактных императивных требований, обращенных к индивиду. И. как таковой поэтому всегда конкретен, и он постепенно реализуется в истории. Любая достигнутая ступень развития предстаёт с этой точки зрения как частично реализованный И., как фаза подчинения эмпирии власти мышления, силе идеи, творческой мощи понятия, — то есть коллективного разума объединённых вокруг идей людей. В виде И. всегда оформляется образ конкретной цели деятельности «рода», то есть человечества на данной ступени его интеллектуального и нравственного развития. В составе И. действительно представляются разрешенными главные, наиболее острые и окончательно назревшие всеобщие противоречия. «Дух» всегда осуществляет наличные проблемы, а не абстрактно-формальную цель «абсолютного совершенства», представляемого как неподвижное и лишённое жизни (стало быть и противоречий) состояние.

Поскольку И. определяется Гегелем в духе традиций немецкой классической философии как наглядно созерцаемый образ цели, дальнейшая разработка проблемы И. переходит у него в эстетику, в систему определений «прекрасного». Осуществление И. как «прекрасного» относится Гегелем, однако, к прошлому — к эпохе античного «царства прекрасной индивидуальности». Это связано с тем, что Гегель считает буржуазное (идеализированное им) развитие культуры завершением социальной истории людей. Теоретически увековечивая капиталистическое разделение труда, Гегель считает романтической мечтой, то есть реакционным идеалом, идею всестороннего и целостного развития индивида. Но без этого идея «прекрасной индивидуальности» становится немыслимой даже чисто теоретически. Поэтому «прекрасное» (а тем самым и И. как таковой) оказывается у Гегеля скорее образом прошлого человеческой культуры, нежели образом её будущего.

Подвергнув критике идеализм Гегеля, марксизм-ленинизм материалистически переработал диалектические идеи Гегеля относительно И., его состава, его роли в жизни общества и возможностей его конкретной реализации. Понимая под И. образ цели деятельности объединённых вокруг общей задачи людей, К. Маркс и Ф. Энгельс главное внимание обратили на исследование реальных условий жизни основных классов современного им (буржуазного) общества, на анализ тех реальных всеобщих потребностей, которые побуждают эти классы к деятельности и преломляются в их сознании в форме И. Идеал был впервые понят с точки зрения отражения противоречий развивающейся социальной действительности в головах людей, находящихся в тисках этих противоречий. В виде И. в сознании всегда своеобразно отражается противоречивая социально-историческая ситуация, чреватая назревшими, но не удовлетворяемыми потребностями более или менее широких масс людей, общественных классов, групп. В виде И. эти группы людей и создают для себя образ такой действительности, в рамках которого наличные, гнетущие их противоречия представляются преодоленными, «снятыми», и действительность изображена «очищенной» от этих противоречий, свободной от них. Это не значит, что в виде И. следует представлять себе грядущее состояние лишённым каких бы то ни было противоречий развития. В И. идеально разрешаются наличные, конкретно-исторические по существу и по происхождению, противоречия и поэтому И. выступает как активная, организующая сознание людей сила, объединяющая их вокруг решения вполне определённых, конкретных, исторически назревших задач.

Классы, реализующие прогресс всего общества, формируют соответственно прогрессивные И., собирающие под свои знамена всех активных людей, ищущих выхода из кризисных ситуаций. Таковыми были, например, И. Великой французской революции. Таковыми являются в современную эпоху И. Великой Октябрьской социалистической революции. В наши дни единственной системой идей, представляющей прогрессивный И., является коммунистическое мировоззрение, и именно потому, что оно указывает людям единственно возможный выход в будущее из тупика неразрешимых при капитализме противоречий: построение коммунизма, в условиях которого осуществляется свободное и всестороннее развитие личности.

Лит.: Маркс К. и Энгельс Ф., Немецкая идеология, Соч., 2 изд., т. 3; Маркс К., Критика Готской программы, там же, т. 19; Кант И., Критика эстетической способности суждения, Соч., т. 5, М., 1965; Шиллер Ф., Письма об эстетическом воспитании. Собр. соч., т. 6, М., 1957; Гегель Г. В. Ф., Наука логики, т. 1—2, Собр. соч., т. 5—6, М., 1937—39; его же, Эстетика, т. 1—3, М., 1968—72; Дебольский Н. Г., Об эстетическом идеале, «Вопросы философии и психологии», 1900, кн. 55, с. 759—816; Лифшиц М. А., И. И. Винкельман и три эпохи буржуазного мировоззрения, в сборнике: Вопросы искусства и философии, М., 1935; Муриан В. М., Эстетический идеал, М., 1966; Ильенков Э. В., Об идолах и идеалах, М., 1968; Schliesinger A., Der Begriff des Ideals, Lpz., 1908: Tsanoff R. A., Moral ideals of our civilization, N. Y., 1942; Bertin G. M., L’ideale estetico, Varese-Mil., 1949.

Э. В. Ильенков.

II

Идеа́л (математический)

одно из основных алгебраических понятий. Возникнув первоначально в связи с изучением алгебраических иррациональных чисел, И. нашли впоследствии многочисленные применения в других отделах математики.

Известно, что всякое целое (рациональное) число можно разложить в произведение простых множителей; например, 60 = 2 · 2 · 3 · 5, причём разложение единственно с точностью до порядка и знака множителей:

В 19 в. математики столкнулись с необходимостью разлагать на множители числа более общей природы. Если, например, рассматривать числа вида

где m и n — любые целые (рациональные) числа, то так же, как и для обычных целых чисел, здесь каждое число всегда можно разложить в произведение далее неразложимых множителей. Однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число 9 (которое получается, если считать m = 9, n = 0) допускает здесь два различных разложения:

причем ни один из множителей

дальше разложить в произведение чисел вида

нельзя. Нарушения привычных законов единственности разложения не будет, если свойство делимости связывать не с числами, а с И. В современной алгебре И. вводятся в произвольных кольцах (См. Кольцо). В случае числовых колец (таковым является, например, рассмотренная выше совокупность чисел вида

И. называются также идеальными числами. И. — это совокупность чисел, принадлежащих данному числовому кольцу (а в случае произвольного кольца — совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: 1) сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; 2) произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Затем рассматривают вместо чисел соответствующие им И.; так, например, числу 9 соответствует И. p = (9), состоящий из всех чисел, делящихся на 9.

Числовые понятия, связанные с делимостью чисел, переносятся на И.: один И. делится на другой, если любой элемент первого лежит также и во втором (для чисел это эквивалентно тому, что любое число первого И. делится хотя бы на одно число второго); произведение И. определяется как наименьший И., содержащий всевозможные попарные произведения элементов из обоих идеалов-множителей; наибольший общий делитель двух И. — наименьший И., содержащий элементы как первого, так и второго И., и др. В совокупности целых чисел любой И. состоит из кратных какого-либо фиксированного числа: любой И. является главным. В общем случае, уже для алгебраических иррациональных чисел, не всякий И. является главным. Делимость на главный И. эквивалентна делимости на соответствующее этому И. число. Благодаря наличию не главных И. для целых алгебраических чисел остаётся справедливой теорема о том, что любой И. единственным образом разлагается в произведение неразложимых далее И. Эти неразложимые И., называются также простыми И., выполняют роль простых чисел и характеризуются тем, что обязательно содержат хотя бы один из множителей, если они содержат их произведение. Так, в рассмотренном выше примере

(3) = p₁ p₂,

где

и

— новые И., например И. p₁, являющийся наибольшим общим делителем И.

состоит из всех чисел вида

где k и l — любые целые рациональные числа.

Понятие «И.» (или в первоначальной терминологии «идеального числа») было введено в 1847 для одного частного случая числовых полей немецким математиком Э. Куммером. Строгое и полное обоснование теории И. для любых числовых полей дали независимо друг от друга немецкий математик Р. Дедекинд в 1871 и русский математик Е. И. Золотарев в 1877. Новое содержание теория И. получила в середине 20 в. в связи с развитием общей теории колец.

Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М.—Л., 1947.