ФОРМАЛИЗМ

ФОРМАЛИЗМ – одно из четырех главных направлений в основаниях математики наряду с эффективизмом [ЭФФЕКТИВИЗМ], интуиционизмом [ИНТУИЦИОНИЗМ] и логицизмом [ЛОГИЦИЗМ]. Основоположником формализма является Д.Гильберт [ГИЛЬБЕРТ], который поставил триединую задачу в области обоснования математики, известную под названием программы Гильберта:

1. Признать, что значительная часть математических абстрактных объектов (см. Абстрактный объект [АБСТРАКТНЫЙ ОБЪЕКТ]) это идеальные конструкции, не имеющие точной интерпретации во внешнем мире и вводимые прежде всего как интеллектуальные орудия для работы с реальными объектами. Более того, не все математические высказывания о реальных объектах могут считаться реальными. Назначение идеальных объектов и высказываний – перебросить мост от одних реальных высказываний к другим.

2. Точно и до конца формализовать допустимые методы работы с идеальными конструкциями, с тем, чтобы исключить здесь обращения к интуиции и апелляции к содержательному смыслу. Т.о., математика должна быть превращена в исчисление.

3. Создать метаматематику, которая должна иметь дело с частным случаем реальных объектов – математическими формализмами, и строго обосновать при помощи как можно более простых, интуитивно ясных и не вызывающих сомнения у конструктивистов методов (финитных методов) принципиальную возможность устранения идеальных объектов и высказываний из доказательств реальных утверждений. Математическую теорию, развитую для потребностей метаматематики, Д.Гильберт назвал доказательств теорией [ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ]. В качестве метода такого обоснования предполагалось доказать непротиворечивость, а по возможности и полноту, математических формализмов.

По мере развития теории доказательств и теории моделей формализм все больше сближался с логицизмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. Однако имеется принципиальное методологическое отличие формализма от логицизма и от наивного платонизма. Для формалиста абстрактные объекты и понятия – не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции; он не ставит вопрос об их существовании или происхождении, это не относится к задачам формализма.

Воспользовавшись достижениями логицизма, в частности трудом А.Уайтхедаи Б.Рассела [РАССЕЛ], школа Гильберта уже в 20-е гг. точно сформулировала формальное исчисление для арифметики и стимулировала работы по формальной аксиоматизации множеств теории [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ]. Интенсивно велись исследования в направлении непротиворечивости и полноты построенного арифметического исчисления. Действуя под сильнейшим влиянием формализма, А.Тарский [ТАРСКИЙ] и Р.Карнап [КАРНАП] определили понятие истины и вместе с Л.Витгенштейном [ВИТГЕНШТЕЙН] сформулировали важнейшие понятия верифицируемости и фальсифицируемости (см. Фальсификация [ФАЛЬСИФИКАЦИЯ]), связывающие идеальные высказывания с реальными. Философская суть их состоит в том, что любое утверждение должно допускать прямую либо косвенную процедуру подтверждения или опровержения. Утверждения, которые не могут быть проверены даже косвенно, – псевдопроблемы.

Парадоксальным образом одним из первых теоретических конструктов, проверенных при помощи формалистских методов, явилась сама программа Гильберта. Теорема Гёделя [ГЕДЕЛЬ] о неполноте показала, что цель-максимум ее недостижима, а его же (Гёделя) теорема о недоказуемости непротиворечивости – что фальсифицируется и предложенное Гильбертом средство. Т.о., программа Гильберта не сводится к псевдопроблемам и являлась реальной программой научного исследования. Как известно, чаще всего приводят к важным результатам теоретические программы с недостижимыми, но реально проверяемыми целями. Несмотря на защиту Л.Брауэром [БРАУЭР], который в других случаях резко критиковал его, но соглашался с целями программы Гильберта, научная общественность восприняла результаты Гёделя как крах программы Гильберта.

Пожалуй, самым слабым местом программы Гильберта была ее общая установка на обоснование и спасение существующей математики, которая возникла как результат реакции Гильберта на пересказ ему идей Брауэра и на некоторые личные дискуссии с ним (сам Гильберт работ Брауэра не читал). В данном месте первоначальный формализм соединялся с таким математическим платонизмом, который представлял собой вульгаризированную версию абстрактных математических объектов по типу «абсолютных идей» Платона. Поэтому математические платонисты восприняли формализм как молитву, произнесение которой позволит им освятить свою деятельность и в дальнейшем ничего не менять. Именно эта установка оказалась подорвана теоремами Гёделя, показавшими, что перестраивать математику все равно придется и что в ней всегда есть место сомнению.

Тем не менее дальнейшее развитие подтвердило скорее точку зрения Брауэра, чем большинства. Теория доказательств стала приносить позитивные результаты. В 1936 Г.Генцен [ГЕНЦЕН] опубликовал доказательство непротиворечивости арифметики, в котором единственным неформализуемым в арифметике шагом была трансфинитная индукция до ε0, которая, безусловно, косвенно верифицируема и фальсифицируема содержательными полностью финитными методами и конструктивно приемлема. Еще раньше, в 1934, он опубликовал доказательство теоремы нормализации, из которого следовала возможность устранения промежуточных идеальных высказываний из логических выводов реальных высказываний. В 1939 П.С.Новиков установил, что из классического арифметического доказательства существования объекта, удовлетворяющего разрешимому условию, следует возможность построить такой объект. Тем самым реальные утверждения, доказуемые в арифметике, оказались обоснованными.

В дальнейшем были получены оценки роста длины вывода при устранении идеальных понятий, подтвердившие прозрение Гильберта о необходимости идеальных объектов и понятий для практического получения реальных результатов. По сравнению с такими оценками даже башня из степеней двоек растет слишком медленно.

Обращают на себя внимание философские и методологические достижения формализма, вошедшие в основу современной науки.

Методами формализма были исследованы неклассические, в первую очередь интуиционистские, системы, что позволило показать совместимость идей Брауэра о творящем субъекте и намеренном незнании с более традиционными идеальными математическими понятиями.

Различение идеальных и реальных объектов проложило путь к таким новым по своей методологии разделам математики, как нестандартный анализ, в котором действительная ось либо другая структура пополняются объектами более высокой степени идеальности т.о., чтобы сохранялись все выразимые в формальном языке свойства.

Разделение на язык и метаязык оказалось плодотворным не только в логике и философии, но и в таких новых дисциплинах, как когнитивная наука и информатика. Четыре уровня метаязыкового описания используются, в частности, в практической системе построения моделей сложных систем UML. Было отброшено ограничение Гильберта о финитности метаязыка, и ныне метаязыком может служить любая система.

Применение таких методов формализма в физике позволило оценить глубину прозрения Канта об априорности математических понятий по отношению к физическим. Выяснилось, что вся современная физика логически следует из решения измерять величины действительными числами и в этом смысле оправдывает парадоксальное высказывание Канта, что Разум диктует законы Природе. Приложение формализма в психологии привело к развитию когнитивной науки [КОГНИТИВНАЯ НАУКА].

Литература:

1. Whitehead J., Russell В. Principia Mathematica. Oxf., 1912–20;

2. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики, т. 1–2. М., 1979, 1982;

3. Гончаров С. С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. М., 1994.

Н.Н.Непейвода

Источник: Новая философская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Формализм — I Формали́зм (франц. formalisme, от лат. formalis – относящий к форме) предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием в различных сферах человеческой деятельности (см. Содержание и форма). В области человеческих отношений... Большая советская энциклопедия
  2. формализм — -а, м. 1. Соблюдение внешней формы в чем-л. в ущерб существу дела, формальное отношение к чему-л. В области права формализм выражается предпочтением буквы закона смыслу его. М. Горький, О формализме. Малый академический словарь
  3. Формализм — Направление в основаниях математики, программа к-рого была выдвинута Д. Гильбертом (D. Hilbert). Целью этой программы было доказательство непротиворечивости математики точным математич. способом. Математическая энциклопедия
  4. ФОРМАЛИЗМ — ФОРМАЛИЗМ — англ. formalism; нем. Formalismus. 1. Соблюдение внешней формы в ущерб существу дела. 2. В философии — свойственный различным видам идеализма отрыв формы от содержания. 3. Искусствоведческое направление в XIX-XX вв. Социологический словарь
  5. Формализм — Эстетич. концепция, исходящая из признания самодовлеющего значения формы в иск-ве, её независимости от идейно-образного содержания. Музыкальная энциклопедия
  6. формализм — орф. формализм, -а Орфографический словарь Лопатина
  7. формализм — Форм/ал/и́зм/. Морфемно-орфографический словарь
  8. формализм — (англ. formalism < лат. forma вид 1) В лингвистике: одно из направлений модернизма в языкознании XX в.; 2) метод исследования, при котором предпочтение отдается языковой форме, а не содержанию. Словарь лингвистических терминов Жеребило
  9. формализм — ФОРМАЛИЗМ а, м. formalisme m., нем. Formalismus <�лат. 1. Преобладание внешней формы, правил в каком-л. деле; формальное отношение к чему-л. БАС-1. Тяжелый формализм, военная вытяжка (руки по швам!... Словарь галлицизмов русского языка
  10. формализм — • невероятный ~ Словарь русской идиоматики
  11. формализм — ФОРМАЛИЗМ — одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и логицизмом. Основоположником Ф. является Д. Гильберт, который поставил триединую задачу обоснования математики, известную как программа Гильберта. Энциклопедия эпистемологии и философии науки
  12. формализм — ФОРМАЛИЗМ, а, м. 1. Соблюдение внешней формы в чёмн. в ущерб существу дела. Бюрократический ф. 2. В искусстве, эстетике и других гуманитарных науках: общее название направлений, придающих первенствующее значение форме, внешнему выражению. Толковый словарь Ожегова
  13. формализм — ФОРМАЛ’ИЗМ, формализма, мн. нет, ·муж. 1. Приверженность к соблюдению внешних формальностей в ущерб существу дела, строго формальное отношение к чему-нибудь. Бюрократический формализм. Излишний формализм в работе. Толковый словарь Ушакова
  14. формализм — ФОРМАЛИЗМ -а; м. 1. Соблюдение внешней формы в ущерб существу дела. Бюрократический ф. 2. Направление в искусстве, эстетике и других гуманитарных науках, отдающее первенствующее значение форме, внешнему выражению. Ф. в литературоведении. ◁ Формалистический (см.). Толковый словарь Кузнецова
  15. формализм — См. форма Толковый словарь Даля
  16. формализм — 1) фил. свойственный различным видам идеализма, отрыв формы от содержания, в результате чего конкретный исторический процесс развития действительности сводится к абстрактным, лишенным содержания внешним формулам и схемам... Большой словарь иностранных слов
  17. ФОРМАЛИЗМ — ФОРМАЛИЗМ — .. 1) предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием в различных сферах человеческой деятельности. Проявляется в безукоснительном следовании правилам этикета, ритуала даже в тех случаях, когда жизненная ситуация делает это бессмысленным... Большой энциклопедический словарь
  18. формализм — формализм I м. Направление в искусстве, искусствоведении, литературоведении и т.п., представители которого склонны отрывать форму форма I 2. от содержания и придавать форме или отдельным её элементам первенствующее значение. II м. Толковый словарь Ефремовой