Алгебраическая функция

Алгебраи́ческая функция

Функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,

называются рациональными, а прочие А. ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,

Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y⁵ + 3ух⁴ + x⁵ = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x^α (если α — иррациональное число), показательная а^х, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (См. Аналитические функции) (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией (См. Алгебраическая геометрия). Самая общая А. ф. многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:

Р_о(х, у, z, ...)uⁿ + P₁(x, y, z, ...)u^n-1 + … +P_n(x, y, z, ...) = 0, (1)

где Р₀, Р₁, ..., P_n — какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P₀ можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P₁/P₀), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P₀ = const ≠ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.

При n ≥ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.