Алгебраическое число

Алгебраи́ческое число

Число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a₁αⁿ+ ... + акα +a_n+1 = 0, где n ≥ 1, a₁, ..., a_n, a_n+1 — целые (рациональные) числа. Число α называется целым А. ч., если a₁ = 1. Если многочлен f(x) = a₁xⁿ + ... + a_nx + a_n+1 не является произведением двух др. многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью А. ч. α. Простейшие А.ч. — корни двучленного уравнения xⁿ = а, где а — рациональное число. Например, А. ч. будут рациональные числа, числа

целыми А. ч. будут целые числа, числа

С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика А. ч. (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. «идеальные» числа (см. Идеал). 2) Теория приближения А. ч. изучает степень приближения А. ч. рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля (См. Лиувилль), показывающая, что А. ч. «плохо» приближаются рациональными числами, точнее: если α — А. ч. степени n, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [α — p/q] > C/qⁿ, где С = С(α) > 0 — постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических — трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число).

Лит.: Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964.

А. А. Карацуба.