Асимптотическое выражение

Асимптоти́ческое выражение

Сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю); А. в. иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция φ(x) является А. в. для f(x) при х → ∞ (или ха), если f(x)(x) → 1 при х → ∞ (или ха), или, что то же самое, если f(x) = φ(x)[1 + α(x)], где α(х) → 0 при х → ∞ (или ха). В этом случае пишут: f(x) ~ φ(x) при х → ∞ (или ха). Как правило, φ(x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. в. при х → 0 могут служить sinx ~ x, tgx ~ x, ctgx ~ 1/x, 1 - cosx ~ x22, ln(1 + x) ~ x, ax - 1 ~ xlna (a > 0, a ≠ 1). Более сложные А. в. при х → ∞ возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, π(x) ~ x/lnх, где π(x) число простых чисел, не превосходящих х,

Асимптотическое выражение

где Г(u) — Гамма-функция , для целочисленных значений х = n имеем Г(n + 1) = n!, что приводит к Стирлинга формуле (См. Стирлинга формула):

Асимптотическое выражение. Рис. 2

Ещё более сложными А. в. обладают, например, Бесселя функции.

А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости z = x + iy. Так, например, sin(x + iy) ~ e/y//2 при y → ∞ и y → -∞.

А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.

Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.

В. И. Левин.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me