загромоздить делами

(иноск.) — завалить делами, дать кому так много дела, что не хватает времени (как громоздкие вещи свободного места не дают)

Ср. Дела загромоздили весь досуг, ни одной свободной минуты.

Салтыков. Мелочи жизни.