гладить по шерсти (шёрстке)
ГЛАДИТЬ ПО ШЕРСТИ (ШЁРСТКЕ) кого. ПОГЛАДИТЬ ПО ШЕРСТИ (ШЁРСТКЕ) кого. Разг. Ирон. Поступать или говорить в соответствии с чьим-либо желанием. А ты его по шёрстке гладишь, к честям ведёшь и в славу рядишь (Крылов. К счастью).
Источник:
Фразеологический словарь русского литературного языка
на Gufo.me