Диофантовы приближения

Диофа́нтовы приближения

Часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений (См. Диофантовы уравнения). Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей (См. Непрерывная дробь), Фарея рядов и Дирихле принципа.

Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа α подходящими дробями p_klq_k разложения α в непрерывную дробь характеризуется неравенством |α — p_k/q_k| < 1/q_k²; с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |α — а/b | < 1/2b², то она является подходящей дробью разложения α в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел α рациональными дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений xθ — у — α, где θ и α — некоторые действительные числа, а х и у принимают целые значения (так называемая неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой задачи принадлежат П. Л. Чебышеву. Среди разнообразных теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. п.) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру: если α₁,..., α_n — действительные числа, для которых равенство a₁α₁ +...+a_nα_n = 0 с целыми a₁,..., a_n возможно лишь при a₁ =... = a_n = 0, a β₁,..., β_n — некоторые действительные числа, то при любом заданном ε > 0 можно найти число t и такие целые числа х₁,..., x_n, что выполняются неравенства |tα_k — β_k — x_k| < ε, k = 1,2,..., n. Для решения многомерных задач Д. п. весьма плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А. Я. Хинчину и др. учёным построить систематическую теорию многомерных Д. п. Для теории Д. п. важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решётку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории Д. п.

В вопросах нелинейных Д. п. замечательные результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. п. является проблема приближения алгебраических чисел (См. Алгебраическое число) рациональными.

К Д. п. относится теория трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число), в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория Д. п. тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел.

Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, в. 4; Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936.