Пуассона распределение

Пуассо́на распределение

Одно из важнейших распределений вероятностей случайных величин, принимающих целочисленные значения. Подчинённая П. р. случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения, причём Х = kc вероятностью

, k = 0, 1, 2,...

(λ — положительный параметр). Своё название «П. р.» получило по имени С. Д. Пуассона (1837). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей П. р. с параметром λ, равны λ. Если независимые случайные величины X₁ и X₂ имеют П. р. с параметрами λ₁ и λ₂, то их сумма X₁ + X₂ имеет П. р. с параметрами λ₁ + λ₂.

В теоретико-вероятностных моделях П. р. используется как аппроксимирующее и как точное распределение. Например, если при n независимых испытаниях события A₁,..., A_n осуществляются с одной и той же малой вероятностью р, то вероятность одновременного осуществления каких-либо k событий (из общего числа n) приближённо выражается функцией p_k (np) (математическое содержание этого утверждения при больших значениях n и 1/р формулируются Пуассона теоремой (См. Пуассона теорема)). В частности, такая модель хорошо описывает процесс радиоактивного распада и многие др. физические явления.

Как точное П. р. появляется в теории случайных процессов. Например, при расчёте нагрузки линий связи обычно предполагают, что количества вызовов, поступивших за непересекающиеся интервалы времени, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся П. р. с параметрами, значения которых пропорциональны длинам соответствующих интервалов времени (см. Пуассоновский процесс).

В качестве оценки неизвестного параметра λ по n наблюдённым значениям независимых случайных величин X₁,..., X_n используется их арифметическое среднее X = (X₁ +... + X_n)/n, поскольку эта оценка лишена систсматической ошибки и её квадратичное отклонение минимально (см. Статистические оценки).

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М. — Л., 1969; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

Рис. к ст. Пуассона распределение.