Пуассоновский процесс

Пуассо́новский процесс

Случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < τ₁ <...< τ_n <...<... каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.

Пусть μ(s, t) — число событий, моменты наступления которых τ_i удовлетворяют неравенствам 0 ≤ s < τ_i ≤ t, и пусть λ(s, t) — математическое ожидание μ(s, t). Тогда и П. п. при любых 0 ≤ s₁ < t₁ ≤ s₂ < t₂ ≤... ≤ s_r < t_r случайные величины μ(s₁, t₁), μ(s₂, t₂),... μ(s_r, t_r) независимы и вероятность того, что μ(s, t) = n, равна

e^{-λ (s, t)} [λ(s, t)] ⁿ /n!.

В однородном П. п. λ(s, t) = a (t — s), где а — среднее число событий в единицу времени, расстояния τ_n — τ_n-1 между соседними моментами τ_n независимы и имеют Показательное распределение с плотностью ae^-at, t ≥ 0.

Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения некоторых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт П. п.

П. п. представляет собой удобную математическую модель, которая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью П. п. описывается поток требований (например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов медицинских машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория).

Обобщением П. п. является пуассоновское случайное распределение точек на плоскости или в пространстве, при котором число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т.д.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1967.

Б. А. Севастьянов.