КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

(волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч-ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч-цы и системы, с физ. величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения в-ва. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу хим. связи, объяснить периодич. систему элементов, понять строение ат. ядер, изучать св-ва элем. ч-ц. Поскольку св-ва макроскопич. тел определяются движением и вз-ствием ч-ц, из к-рых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопич. явлений. К. м. позволила, напр., объяснить температурную зависимость теплоёмкостей газов и тв. тел и вычислить их величину, определить строение и понять мн. св-ва тв. тел (металлов, диэлектриков, ПП). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофиз. объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (напр., (см. ДЖОЗЕФСОНА ЭФФЕКТ)), в к-рых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопич. объектов.

Ряд крупнейших техн. достижений 20 в. основан по существу на специфич. законах К. м. Так, квантовомеханич. законы лежат в основе работы яд. реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термояд. реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и ПП, используемых в новейшей технике, и т. д. Фундамент квантовой электроники составляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправл. поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. стала в значит. мере «инженерной» наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место К. м. среди других наук о движении. В нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика Ньютона имеет огранич. область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятив. механика, построенная на основе спец. теории относительности Эйнштейна (см. ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ). Релятив. механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. (Ниже термин «классич. механика» будет объединять Ньютонову и релятив. механику.)

Для классич. механики в целом характерно описание ч-ц путём задания их положения в пр-ве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение ч-ц но вполне определ. траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для ч-ц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя, как частный случай, классич. механику. К. м. делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятив. К. м. (однако нек-рые общие положения относятся к квант. теории в целом). Нерелятив. К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) — вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физ. задачу. Релятив. К. м. не явл. в такой степени завершённой и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятив. области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятив. области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, вз-ствие передаётся (распространяется) с кон. скоростью, должен существовать физ. агент, переносящий вз-ствие; таким агентом явл. физ. поле. Трудности релятив. теории — это трудности теории поля, с к-рыми встречается как релятив. классич. механика, так и релятив. К. м. В статье не будут рассматриваться вопросы релятив. К. м., связанные с квантовой теорией поля.

Соотношение между классической и К. м. определяется существованием универсальной мировой постоянной— постоянной Планка h (или h=h/2p). Постоянная h, наз. также квантом действия, имеет размерность действия и равна: h»6,62•10-27 эрг•с h=1,05•10-27 эрг•с). Если в условиях данной задачи физ. величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой величиной), применима классич. механика. Формально это условие и явл. критерием применимости классической механики. Более подробно этот критерий будет разъяснён при изложении физических основ К. м.

История создания К. м.

В нач. 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классич. электродинамики к процессам вз-ствия света с в-вом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света — дуализмом света (см. ниже); вторая — с невозможностью объяснить на основе классич. представлений существование устойчивых атомов, а также их оптич. спектры. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счёте, к открытию законов К. ж.

Впервые квант. представления (в т. ч. h) были введены в 1900 нем. физиком М. Планком в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (см. ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамич.) равновесие между излучением и в-вом не может быть достигнуто, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предположив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а определёнными дискр. порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света v и равна: ?=hn.

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся к 1927 окончат. формулировкой К. м. в двух её формах. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теория фотоэффекта. Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету: свет состоит из отд. порций — световых квантов, названных позднее фотонами. Энергия фотона ?=hn. На основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил установленные на опыте закономерности фотоэффекта, к-рые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света.

Дальнейшее доказательство корпускулярного хар-ра света было получено в 1922 амер. физиком А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными эл-нами происходит по законам упругого столкновения двух ч-ц — фотона и эл-на (см. КОМПТОНА ЭФФЕКТ). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией ?=hn следует приписать импульс p=h/l= hn/c, где l — длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением ?=ср, справедливым в релятив. механике для ч-цы с нулевой массой покоя. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волн. св-вами (проявляющимися, напр., в дифракции света) свет обладает и корпускулярными св-вами: он состоит как бы из ч-ц — фотонов. В этом проявляется дуализм света, его корпускулярно-волн. природа. Дуализм содержится уже в ф-ле ?=hn, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: энергия ? относится к ч-це, а частота n явл. хар-кой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волн. природу, а для объяснения других — корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физ. основ К. м.

В 1924 франц. физик Л: де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 дат. физиком Н. Бором условиям квантования ат. орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой ч-це, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой l связана с импульсом ч-цы р соотношением:

l=h/p. (1)

По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные ч-цы» (эл-ны, протоны и др.) обладают волн. св-ва ми, к-рые, в частности, должны проявляться в дифракции ч-ц. В 1927 амер. физики К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию эл-нов. Позднее волн. св-ва были обнаружены и у др. ч-ц, и справедливость ф-лы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ). В 1926 австр. физик Э. Шредингер предложил ур-ние, описывающее поведение таких «волн» во внеш. силовых полях. Так возникла волновая механика. Волн. ур-ние Шредингера явл. основным ур-нием нерелятив. К. м. В 1928 англ. физик П. Дирак сформулировал релятив. ур-ние, описывающее движение эл-на во внеш. силовом поле; Дирака уравнение стало одним из осн. ур-ний релятив. К. м.

Вторая линия развития (также являющаяся обобщением гипотезы Планка) начинается с работы Эйнштейна (1907), посвящённой теории теплоёмкости тв. тел. Эл.-магн. излучение, представляющее собой набор эл.-магн. волн разл. частот, динамически эквивалентно нек-рому набору осцилляторов. Испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение эл.-магн. излучения в-вом происходят квантами с энергией hn, можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определ. значения энергии — дискр. уровни энергии, расстояние между к-рыми равно hn. Эйнштейн обобщил идею квантования энергии осциллятора эл.-магн. поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение тв. тел сводится к колебаниям атомов, то и тв. тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантованна, т. е. разность соседних уровней энергии должна равняться hn, где n — частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом (Германия), сыграла выдающуюся роль в развитии теории тв. тел.

В 1913 Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель к-рого вытекала из результатов опытов англ. физика Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряж. ядро, в к-ром сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряж. эл-ны. Рассмотрение такого движения на основе классич. представлений приводило к парадоксальному результату — невозможности существования стабильных атомов: согласно классич. электродинамике, эл-н не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич. заряд должен излучать эл.-магн. волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время = 10-8 с эл-н должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению эл-нов в атоме, т. к. атомы не только существуют, но и весьма устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения эл-на в электрич. поле ат. ядра, реально осуществляются лишь те, к-рые удовлетворяют определ. условиям квантования, требующим, чтобы величина действия для классич. орбиты была целым кратным постоянной Планка h. Бор постулировал, что, совершая допускаемое условиями квантования орбит. движение (т. е. находясь на определ. уровне энергии), эл-н не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе эл-на с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии ?i на другой, с меньшей энергией ?k при этом рождается квант света с энергией

hn=?i-?k. (2)

Так возникает линейчатый спектр атома. Бор получил правильную ф-лу для частот спектр. линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. ф-л (см. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ). Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка — Герца опытами (1913—14).

Т. о., Бор, используя квант. постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение эл-нов в атоме, законы к-рого существенно отличаются от законов классич. механики. Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волн. дуализма.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квант. теории, был достигнут за счёт нарушения логич. цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой — привлекались чуждые ей искусств. правила квантования, к тому же противоречащие классич. электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение эл-нов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение связи между атомами, приводящей к образованию молекулы, и др. «Полуклассич.» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется эл-н при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что движение эл-нов в атоме нельзя описывать в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определ. траектории, или орбите), что вопрос о движении эл-на между уровнями несовместим с хар-ром законов, определяющих поведение эл-нов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 нем. физик В. Гейзенберг построил такую формальную схему, в к-рой вместо координат и скоростей эл-на фигурировали некие абстрактные алгебр. величины — матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квант. переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита Борном и П. Иорданом (Германия). Так возникла матричная механика. Вскоре после появления ур-ния Шредингера была показана матем. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шредингера) и матричной механики. В 1926 Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончат. формирование К. м. как последоват. теории с ясными физ. основами и стройным матем. аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в к-рой было сформулировано неопределённостей соотношение — важнейшее соотношение, освещающее физ. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качеств. результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые амер. физиками Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому швейц. физиком В. Паули) о том, что эл-ну, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутр. хар-ка — спин. Важную роль сыграл открытый Паули (1925) т. н. принцип запрета ((см. ПАУЛИ ПРИНЦИП), см. ниже), имеющий фундам. значение в теории атома, молекулы, ядра, тв. тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории ат. спектров, строения молекул, хим. связи, периодич. системы элементов, металлич. проводимости и ферромагнетизма. Дальнейшее принципиальное развитие квант. теории связано гл. обр. с релятив. К. м. Нерелятив. К. м. развивалась в осн. в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, тв. тел (металлов, ПП), плазмы и т. д., а также совершенствования матем. аппарата и разработки количеств. методов решения разл. задач.

Вероятности и волны.

Законы К. м. не обладают той степенью наглядности, к-рая свойственна законам классич. механики. Поэтому целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её осн. положения. Выбор фактов, на базе к-рых строится теория, не единствен, поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, часть отражается от неё. Известно, что свет состоит из «ч-ц» — фотонов.

Что же происходит с отдельным фотоном при попадании его на пластинку? Если поставить опыт (напр., с пучком света крайне малой интенсивности), в к-ром можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что при встрече с пластинкой фотон не расщепляется на два, его индивидуальность как ч-цы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту). Оказывается, что нек-рые фотоны проходят сквозь пластинку, а нек-рые отражаются от неё. Если поместить такую же пластинку на пути прошедшего (или отражённого) света, то будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдёт вторую пластинку, часть отразится. Следовательно, одинаковые ч-цы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному, т. е. поведение фотона при встрече с пластинкой не предсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классич. механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод явл. одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волн. св-вами ч-ц и построения теории квантовомеханич. явлений.

Волн. теория легко объясняет отражение света от прозрачной пластинки и прохождение через неё, однозначно предсказывая отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения интенсивность света пропорц. числу фотонов, следовательно, волн. оптика позволяет определить отношение чисел прошедших (N1) и отражённых (N2) фотонов, N1/N2(N1+N2)=N—полное число падающих на пластинку фотонов). Поведение же одного фотона, естественно, ею не описывается. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё — случайные события: нек-рые фотоны проходят через пластинку, нек-рые отражаются от неё, но при большом N отношение N1/N2 находится в согласии с предсказанием волн. оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью w1 пройти через пластинку и с вероятностью w2 отразиться от неё, так что в ср. пройдёт пластинку w1N ч-ц, а отразится w2N ч-ц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел ч-ц точно совпадают с истинными. Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей, и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимоисключающих) событий — прохождение или отражение, равна w1+w2=1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна w21, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй — w1w2 (что соответствует разделению света второй пластинкой на прошедший и отражённый в том же отношении, что и первой). Это закон умножения вероятностей, справедливый для независимых событий. Аналогичные опыты с пучком эл-нов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отд. ч-цы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: вз-ствие «классич.» ч-ц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квант. неопределённостей и делало бы поведение «классич.» ч-ц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма). Т. о., возможная формулировка задачи К. м.— предсказание вероятностей разл. процессов (в отличие от классич. механики, предсказывающей в принципе достоверные события). Вероятностное описание возможно и в классич. механике: когда нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный хар-р. Примером служит классич. статистич. физика, оперирующая с усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квант. и классич. механики была бы не столь велика, если бы осн. понятиями К. м. были именно вероятности.

Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, усложним рассмотренный выше опыт по отражению света. Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 (рис. 2) меняет направление и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок. Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Однако известно, что в результате интерференции света интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Что же можно сказать о поведении отд. фотона в пнтерференц. опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом (рис. 1) и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями, т. е. эти два пути не явл. альтернативными. Т. о., наличие двух возможных путей прихода фотона от источника к детектору существ. образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог прийти двумя разл. путями. Аналогичный опыт, проведённый с пучками др. микрочастиц, даёт тот же результат. Возникающие представления действительно радикально отличаются от классических: невозможно представить себе движение ч-цы одновременно по двум путям. Но К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками ч-ц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волн. опыта с точки зрения корпускулярных представлений. Полученный результат означает невозможность классич. описания движения ч-ц по траекториям, отсутствие наглядности квант. описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла ч-ца, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что ч-ца будет зарегистрирована в к.-л. одном детекторе. Но как только измерение выделит определ. траекторию ч-цы, интерференц. картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории ч-цы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей (или вероятностей), к-рое было бы в случае «классич.» ч-ц, движущихся по определ. траекториям.

Для квант. явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит. приборы. В классич. физике предполагается, что состояние системы при измерении не меняется. В квант. физике такое предположение несправедливо: измерит. прибор сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит. прибора в квант. явлениях была всесторонне проанализирована Бором и Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей (см. ниже).

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физ. явления безотносительно к приборам, напр. св-ва ч-ц «самих по себе». Примерами могут служить решаемые К. м. задачи об уровнях энергии атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях, об интерференц. явлениях. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфич. вопросы, лишённые, как выяснилось, смысла, напр. вопрос о том, по какой траектории двигался эл-н в интерференц. опыте (т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции) .

Интерференц. опыт, как и опыт по отражению света, легко объясняется на основе волн. оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью I или амплитудой А (I = А2), но и фазой j. Совокупность действит. величин А и j принято объединять в одно комплексное число — комплексную амплитуду: y=Aeij. Тогда

I=|y|2=y•y=A2,

где y* — ф-ция, комплексно сопряжённая с y.

Т..к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света (рис. 1) ситуация именно такая: имеются две волны с комплексными амплитудами y1 и y2, но одна из них существует только справа, а другая только слева от пластинки; интенсивности этих волн

I1=A21, I2=A22,

т. е. фазы не фигурируют. В интерференц. опыте (рис. 2) ситуация иная: волна с амплитудой y2 с помощью зеркала попадает в область нахождения волны с амплитудой y1. Волн. поле в области существования двух волн определяется с помощью принципа суперпозиции: волны складываются с учётом их фаз. Амплитуда суммарной волны y равна сумме комплексных амплитуд обеих волн:

y=y1+y2=A1еij1+A2еij2. (3)

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз j1-j2 (к-рая пропорц. разности хода световых пучков по двум путям):

|y|2 = |А1еij2+A2еijj2|2=A21+A22+ 2A1A2cos(j1-j2). (4)

Если А1=А2 и cos(j1-j2)=-1, то |y|2=0.

В более общем случае из-за изменения условий опыта (напр., св-в зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что комплексной амплитудой суммарной волны будет y=c1y1+с2y2, где c1 и с2 — комплексные числа. Суть явления при этом остаётся прежней. Хар-р явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить y в С раз (С может быть как комплексным, так и действительным), то интенсивность увеличится в |С|2 раз, т. е. |С|2 будет общим множителем в ф-ле распределения интенсивностей.

Для интерпретации волн. явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности y=Aeij, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что вероятность w=|Cy|2=|C|2y*y. Здесь С — число, наз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения ч-цы во всех возможных местах равнялась единице, т.е. Siwi=1. Множитель С определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит. вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. волновой функцией. Амплитуды вероятности, как и оптич. амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции: если y1 и y2 — амплитуды вероятности прохождения ч-цы соотв. первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна: y=y1+y2. Тем самым фраза: «Ч-ца прошла двумя путями», приобретает волн. смысл, а вероятность w=|y1+y2|2 обнаруживает интерференц. св-ва.

Следует подчеркнуть, что смысл, вкладываемый в понятие суперпозиции в оптике (и др. волн. процессах) и в К. м., различен. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. Квантово-механические же амплитуды вероятности описывают альтернативные, с классич. точки зрения исключающие друг друга движения (напр., волны y1 и y2 соответствуют ч-цам, приходящим в детектор двумя разл. путями). Сложение таких движений совершенно непонятно с позиции классич. физики. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия этого принципа в К. м. (возможность для ч-цы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути ч-цы приведет к тому, что с вероятностью |y1|2 ч-ца пройдёт первым и с вероятностью |y2|2 — вторым путём; суммарное распределение ч-ц на экране будет определяться вероятностью |y1|2+|y2l'2, т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференц. опыта приводит к след. выводам. Величиной, описывающей состояние физ. системы в К. м., явл. амплитуда вероятности, или волн. ф-ция системы; осн. черта такого квантовомеханич. описания — предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

В общем виде принцип суперпозиции утверждает, что если в данных условиях возможны разл. квант. состояния ч-цы (или системы ч-ц), к-рым соответствуют волн. ф-ции y1, y2,..., yi..., то существует и состояние, описываемое волн. ф-цией

Siciyi,

где ci — произвольные комплексные числа. Если yi описывают альтернативные состояния, то |ci|2 определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волн. ф-цией yi и

S|ci|2=1.

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из осн. задач К. м.— нахождение волн. ф-ции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся ч-цы. Согласно де Бройлю, со свободной ч-цей, имеющей импульс р, связана волна с длиной l=h/p. Это означает, что волн. ф-ция свободной ч-цы y(z) — волна де Бройля — должна быть такой ф-цией координаты х, чтобы при изменении x на l волн. ф-ция y возвращалась к прежнему значению: y(x+l)=y(x). Таким св-вом обладает ф-ция ei2px/l=elkx, где k=2p/l — волн. число. Т. о., состояние ч-цы с определ. импульсом p=(h/2p)k=ћk описывается волновой ф-цией:

y=Ceikx=Ceipx/Ћ, (5)

где С — постоянное комплексное число. Квадрат модуля волн. ф-ции, |y|2, не зависит от х, т. е. вероятность нахождения ч-цы, описываемой такой y, в любой точке пр-ва одинакова. Другими словами, ч-ца со строго определ. импульсом совершенно нелокализована. Конечно, такая ч-ца — идеализация (но идеализацией явл. и волна со строго определ. длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса ч-цы). Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым явл. импульс ч-цы, тем менее определённо её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств. выражение этого принципа — соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию нек-рого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими k, заключёнными в малом интервале Dk. Получающаяся в результате суперпозиции волн. ф-ция y(x), наз. волновым пакетом, имеет такой хар-р: вблизи нек-рого фиксиров. значения x0 все амплитуды сложатся, а вдали от х0(|х—х0|->l) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волн. ф-ция сосредоточена в области шириной Ах, обратно пропорц. интервалу Dk, т. е.

Dx»1/Dk, или DxDp»Ћ,

где Dр=ћDk:—неопределённость импульса ч-цы. Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Математически любую ф-цию y(x) с помощью преобразования Фурье можно представить как наложение простых периодич. волн, при этом соотношение неопределённостей между Dх и Dk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства DxD?l/2, или

DрDх?ћ/2, (6)

где под неопределённостями Ар и Ах понимаются среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср. значений (т. е. дисперсии). Физ. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс ч-цы имеют одновременно точные значения. Масштаб их неопределённостей задаётся постоянной Планка Ћ. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение ч-цы будет описываться законами классич. механики — как движение по определ. траектории.

Принцип неопределённости — фундам. принцип К. м., устанавливающий физ. содержание и структуру её матем. аппарата. Кроме того, он играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей. Важный пример — проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть эл-н движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью v. По закону Кулона, сила притяжения эл-на к ядру равна

е2/r2,

где е — заряд эл-на, а центростремит. ускорение равно v2/r.

По второму закону Ньютона,

mv2/r=е2/r2,

где m — масса эл-на, т. е. радиус орбиты r=e2/mv2 может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика.

Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения эл-на в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости — в пределах v, т. е. импульса в пределах Dp=mv, то соотношение неопределённостей примет вид: mvr?ћ. Учитывая связь между v и r, получим v?е2/ћ и r?ћ2/me2. Следовательно, движение эл-на по орбите с r

Т. о., квантовомеханич. представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через мировые постоянные ћ, т, е. «Малость» ат. размеров оказалась связанной с тем, что мала ћ.

Строгое решение задачи о движении эл-на в атоме водорода получается из квантовомеханич. ур-ния движения — ур-ния Шредингера (см. ниже); решение ур-ния Шредингера даёт волн. ф-цию y, к-рая описывает состояние эл-на, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида y, можно утверждать, что эта волн. ф-ция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, к-рая соответствует локализации эл-на в области размером ?r0 и разбросу по импульсам Dр = ћ/r0.

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и мин. энергию, объясняет св-ва гелия, к-рый при норм. давлении ни при каких темп-pax не превращается в тв. состояние, даёт качеств. представления о структуре и размерах ядра и т. д.

Стационарное уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние ч-цы только в случае свободного движения. Если на ч-цу действует поле сил с потенц. энергией V, зависящей от координат ч-цы, то её волн. ф-ция y определяется дифф. ур-нием, к-рое получается путём след. обобщения гипотезы де Бройля. Для случая одномерного свободного движения ч-цы (вдоль оси х) с пост. энергией ? ур-ние, к-рому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

где р=?2m? — импульс свободно движущейся ч-цы массы m. Если ч-ца с энергией ? движется в потенц. поле, не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен: р2=2m(?-V(x)). Простейшим обобщением ур-ния (*) явл. поэтому ур-ние

Оно наз. стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к осн. ур-ниям К. м. Решение этого ур-ния зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала, определяющего V(x). Рассмотрим два типичных случая.

1) Потенциальная стенка:

V=0 при х<0, V=V1>0 при х>0.

Если полная энергия ч-цы больше высоты стенки, т. е. ?>V, и ч-ца движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области x<0 имеет вид двух волн де Бройля — падающей и отражённой:

где ћ2k20/2m=p20/2m=? (волна с волн. числом k-=-k0 соответствует движению справа налево с тем же импульсом р0),

а при х > 0 — проходящей волны де Бройля:

y=C1eik1x,

где ћ2k21/2m=p21l2m=?-V1. Отношения |C1/C0|2 и |С'0/С0|2 определяют вероятности прохождения ч-цы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения (т. н. надбарьерное отражение) — специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классич.» ч-ца свободно проходит над таким барьером (стенкой), и лишь импульс её уменьшается до значения р1=?((2m(e-V1)).

Если ?0 отрицательна. В классич. механике это невозможно, и ч-ца не заходит в такую область пр-ва — она отражается от потенц. стенки. Волн. движение имеет др. хар-р. Отрицат. значение k2(p2/2m.=ћ2k2/2m<0) означает, что k — чисто мнимая величина, k=ic, где c вещественно. Поэтому волна eikx превращается в е-cx, т. е. колебат. режим сменяется затухающим (c>0, иначе получился бы лишённый физ. смысла неогранич. рост волны с увеличением х). Под энергетич. схемой на рис. 4,а (и рис. 4, б) изображено качеств. поведение y(x), точнее, её действит. части.

2) Две области, свободные от сил, разделены прямоуг. потенциальным барьером, и ч-ца движется к барьеру слева с энергией ?

барьер. Коэфф. (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V-?) барьера. Этот типично квантовомеханич. эффект, наз. туннельным эффектом, имеет большое значение в практич. приложениях К. м. Он объясняет, напр., явление альфа-распада (вылет из радио-акт. ядер a-частиц). В термояд. реакциях, протекающих при темп-рах в десятки и сотни млн. градусов, осн. масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия яд. сил в результате туннельных переходов. Туннельный эффект объясняет также автоэлектронную эмиссию, контактные явления в металлах и ПП и мн. др. Уровни энергии. Рассмотрим поведение ч-цы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть V(x)?0 в нек-рой огранич. области, причём V(x)<0 (что соответствует силам притяжения). Как классическое, так и квант. движение существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия ? ч-цы.

При ?>0 «классич.» ч-ца проходит над ямой и удаляется от неё. В отличие от классич. случая, при квантовомеханич. движении происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ч-цы ничем не ограничены — её энергия имеет непрерывный спектр. При ?<0 ч-ца оказывается «запертой» внутри ямы. В классич. механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях ?<0. В К. м. ситуация иная.

Волн. ф-ция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е-cc. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях ?, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискр. значений ?n может быть конечным или бесконечным, но всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение ?0, лежащее выше дна потенц. ямы; номер решения n наз. квант. числом. Т. о., энергия ч-цы (или физ. системы) имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот w=-?n/ћ, где w=2pn — круговая частота) — типично волн. явление. Его аналогии наблюдаются в классич. физике, когда волн. движение происходит в огранич. пр-ве. Так, частоты колебаний струны или частоты эл.-магн. волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и св-вами границ области, в к-рой происходят колебания. Действительно, математически ур-ние Шредингера подобно соответствующим ур-ниям для струны или резонатора. Проиллюстрируем дискр. спектр энергии на примере квант. осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние ч-цы от положения

равновесия. Кривая (парабола) изображает собой потенц. энергию ч-цы. В этом случае ч-ца при всех энергиях «заперта» внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии ч-цы. Энергия низшего уровня ?=Ћw/2 — наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение ч-цы на дне ямы (?=0) означало бы точное равновесие, при к-ром x=0 и р=0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом Ћw; ф-ла для энергии n-го уровня:

Над каждой горизонтальной прямой на рис. 6 приведена действит. часть волн. ф-ции данного состояния. Характерно, что число узлов волн. ф-ции равно квант. числу n уровня энергии. За пределами ямы волн. ф-ция быстро затухает.

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетич. спектром. В зависимости от вида потенциала поля, определяющего потенц. энергию ч-цы (а следовательно, от хар-ра вз-ствия в системе), энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной ч-цы), либо частично дискретным, частично непрерывным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях — непрерывны).

Особенно важен случай, когда наинизшее значение энергии, соответствующее осн. состоянию системы, лежит в области дискр. спектра и, следовательно, осн. состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квант. систем. Благодаря энергетич. щели внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её вз-ствиях с др. системами не превысит определ. значения — ширины щели. Поэтому при огранич. обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная ч-ца (матер. точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, в частности, особенностей теплового движения ч-ц. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, ат. эл-ны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шредингера.

До сих пор рассматривались лишь возможные квант. состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика). Полное решение задач К. м. должно давать y как ф-цию координат и времени t. Для одномерного движения (вдоль оси х) она определяется ур-нием

являющимся ур-нием движения в К. м. и наз. временным уравнением Шредингера. Оно справедливо и в случае, когда потенц. энергия зависит от времени: V=V(х, t). Частными решениями ур-ния (9) явл. ф-ции

Здесь ? — энергия ч-цы, a y(х) удовлетворяет стационарному ур-нию Шредингера (7); для свободного движения y(х) представляет собой волну де Бройля eikx и y(x, t) = ei(kx-wt). Волн. ф-ции (10) обладают тем важным св-вом, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т. к. ?y(x,t)?2=?y(x)?2. Поэтому состояния, описываемые такими волн. ф-циями, наз. стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м. Общим решением временного ур-ния Шредингера явл. суперпозиция стационарных состояний. В этом (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия ? системы не имеет определ. значения. Так, если y(x, t)=С1e(k1x-ww1t)+ + C2ei(k2x-w2t), то ? =Ћw1 с вероятностью |С1|2 и ?=Ћw2 с вероятностью |С2|2. Для энергии и времени существует соотношение неопределённостей:

D?Dt=ћ, (11)

где D? — дисперсия энергии, а Dt — промежуток времени, в течение к-рого энергия может быть измерена.

Трёхмерное движение. В общем случае движения ч-цы в трёх измерениях волн. ф-ция зависит от координат х, у, z и времени: y=y(х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид:

где рх, py, pz — три проекции импульса на оси координат, а ?= (p2x+p2y +p2z)/2m. Соотв. имеются три соотношения неопределённостей:

Временное ур-ние Шредингера имеет вид:

Это ур-ние принято записывать в символич. форме:

дифф. оператор, наз. оператором Гамильтона или гамильтонианом. Стационарным решением ур-ния (14) является

y0 — решения ур-ния Шредингера для стационарных состояний:

При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда неск. разных состояний, описываемых разными волн. ф-циями, имеют одинаковую энергию; такие состояния наз. вырожденными. В случае непрерывного спектра ч-ца уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности — прохождение или отражение), при трёхмерном движении ч-ца может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первонач. движения, т. е. рассеяться. Волн. ф-ция ч-цы теперь явл. суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные ч-цы удобно описывать в сферич. координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами — широтой q и азимутом j. Соответствующая волн. ф-ция на больших расстояниях от центра сил имеет вид:

Первый член (пропорц. волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие ч-цы, а второй (пропорц. «радиальной волне де Бройля») — рассеянные. Ф-ция f(q, j) наз. амплитудой рассеяния; она определяет дифф. сечение рассеяния da, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

ds=|f(q, j)|2dW, (18)

где dW — элемент телесного угла, в к-рый происходит рассеяние.

Дискр. спектр энергии возникает (как и при одномерном движении), когда ч-ца оказывается внутри потенц. ямы. Уровни энергии нумеруют квант. числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя.

Момент количества движения.

Очень важной задачей явл. движение в поле центр. сил притяжения. Угл. часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической, заданием момента кол-ва движения М, к-рый при движении в поле центр. сил сохраняется. Но, в отличие от классич. механики, в К. м. момент может принимать только вполне определённые дискр. значения, т. е. имеет дискр. спектр. Это можно показать на примере орбитального (азимутального) движения ч-цы — вращения вокруг заданной оси (принимаемой за ось z). Волн. ф-ция в этом случае имеет вид «угл. волны де Бройля» еimj, где j — азимут, а число m так же связано с моментом Mz, как в плоской волне де Бройля волн. число k с импульсом р, т. е. m=Мz/ћ. Т. к. углы j и j+2p описывают одно и то же положение системы, то и волн. ф-ция при изменении j на 2p должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что т может принимать только целые значения: m=0, ±1, ±2,..., т.е. Мz может быть равен:

Mz=mћ=0, ±ћ, ±2ћ, ... (19)

Вращение вокруг оси z — только часть угл. движения (проекция движения на плоскость ху), а Мz — проекция полного момента М на ось r.

Для определения М надо знать две остальные его проекции. Но в К. м. три составляющие момента не могут одновременно иметь точные значения. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо — координату, перпендикулярную импульсу, а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут принимать точно определ. значения. Оказывается, что кроме Mz, задаваемой числом m, можно одновременно точно задать величину момента, определяемую целым числом l:

M2=ћ2l(l+1), l=0, 1, 2, ... (20)

Т. о., при описании угл. движения ч-цы вводятся два квант. числа — l и т. Число l наз. орбитальным квантовым числом; от него может зависеть значение энергии ч-цы (как в классич. механике от вытянутости орбиты). Число т наз. магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения 0, ±1, ±2, ..., ±l — всего 2l+1 значений; от m энергия не зависит, т. к. само значение т зависит от выбора оси z, а поле сферически симметрично. Поэтому уровень с квант. числом l имеет (2l+1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр. при помещении системы в магн. поле (Зеемана эффект).

При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычной потенц. энергии) центробежной энергии М2/2m0r2=ћ2l(l+1)/2m0r2 (здесь m0 — масса ч-цы). Решение ур-ния Шредингера для радиальной части волн. ф-ции атома определяет его уровни энергии; при этом вводится третье квант. число — радиальное nr или главное n, к-рые связаны соотношением: n=nr+l+1, nr=0, 1, 2, ..., n=1, 2, 3, ... . В частности, для движения эл-на в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются ф-лой:

(me — масса эл-на), т. е. энергия зависит только от га. Для многоэлектронных атомов, в к-рых каждый эл-н движется не только в поле ядра, но и в поле остальных эл-нов, уровни энергии зависят также и от l.

На рис. 3 в статье Атом приведены распределения электронной плотности вокруг ядра в атоме водорода для состояний с низшими значениями квант. чисел n, l и m. Видно, что задание момента (чисел l и m) полностью определяет угл. распределение. В частности, при l=0(M2=0) распределение электронной плотности сферически симметрично. Т. о., квант. движение при малых l совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со ср. значением радиуса r?0 отвечает как бы классич. движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклонённых под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом. Это различие между квантовомеханич. и классич. движениями — следствие соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квант. числах длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

В этом случае квантовомеханич. законы движения приближённо переходят в классич. законы движения ч-ц по определ. траекториям, подобно тому как законы волн. оптики в аналогичных условиях переходят в законы геом. оптики. Условие малости де-бройлевской длины волны (22) означает, что pL ->ћ, где pL по порядку величины равно классич. действию для системы. В этих условиях квант действия ћ можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханич. законов в классические осуществляется при ћ®0. В этом пределе исчезают все спецнфич. квантовомеханич. явления, напр. обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

Спин.

В К. м. ч-ца (как сложная, напр. ядро, так и элементарная, напр. эл-н) может иметь собств. момент кол-ва движения, наз. спином. Это означает, что ч-це можно приписать квант. число (J), аналогичное орбит. квант. числу l. Квадрат собств. момента кол-ва движения имеет величину ћ2/(J+1), а проекция момента на определ. направление может принимать 2J+1 значений от -ћJ до +ћJ с интервалом ћ. Т. о., состояние ч-цы (2J+1)-кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля ч-цы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2J+1 поляризаций. Число поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квант. число J может быть как целым (0,1,2,...), так и полуцелым (1/2, 3/2, 5/2,...) числом. Напр., спин эл-на, протона, нейтрона равен 1/2 (в единицах ћ); спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов,— целый (или нулевой), а из нечётного — полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (равным 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятив. К. м.) для таких ч-ц число поляризаций равно двум (а не 2J+1=3).

Системы многих частиц. Тождественные частицы.

Квантовомеханич. ур-ние движения для системы, состоящей из N ч-ц, получается соответствующим обобщением ур-ния Шредингера для одной ч-цы. Оно содержит потенц. энергию, зависящую от координат всех ч-ц, и включает как воздействие на них внеш. поля, так и вз-ствие ч-ц между собой. Волн. ф-ция также явл. ф-цией от координат всех ч-ц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пр-ве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пр-ве утрачивается. Но теперь это несущественно, поскольку известен смысл волн. ф-ции как амплитуды вероятности.

Если Квантовомеханич. системы состоят из одинаковых ч-ц, то в них наблюдается специфич. явление, не имеющее аналогии в классич. механике. В классич. механике случай одинаковых ч-ц тоже имеет нек-рую особенность. Пусть, напр., столкнулись две одинаковые «классич.» ч-цы (первая двигалась слева, а вторая — справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (напр., первая — вверх, вторая — вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из ч-ц пошла, напр., вверх, поскольку ч-цы одинаковы,— практически надо учесть обе возможности (рис. 7, а и 7, б).

Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями ч-ц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе ч-цы проходят с нек-рой неопределённостью, с «размытыми траекториями» (рис. 7, в). В процессе столкновения области размытия перекрываются, и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые ч-цы становятся полностью неразличимыми — тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай — одна ч-ца пошла вверх, другая — вниз, индивидуальности у ч-ц нет. Этот квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых ч-ц можно сформулировать математически на языке волн. ф-ций. Нахождение ч-цы в данном месте пр-ва определяется квадратом модуля волн. ф-ции, зависящей от координат обеих ч-ц, |y(l, 2)|2, где 1 и 2 означают совокупность координат и спин соотв. первой и второй ч-цы. Тождественность ч-ц требует, чтобы при перемене местами ч-ц вероятности были одинаковыми, т. е.

|y(1, 2)|2=|y(2, 1)|2. (23)

Отсюда вытекают две возможности:

y(1, 2)=y(2, 1), (24, а)

y(1, 2) =-y(2, 1). (24, б)

Если при перемене ч-ц местами волн. ф-ция не меняет знака, то она наз. симметричной (случай (24,а)), если меняет,— антисимметричной (случай (24, б)). Т. к. все вз-ствия одинаковых ч-ц симметричны относительно переменных 1, 2, то св-ва симметрии или антисимметрии волн. ф-ции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождеств. ч-ц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары ч-ц. Поэтому св-во симметрии или антисимметрии — характерный признак данного сорта ч-ц. Соответственно, все ч-цы делятся на два класса: ч-цы с симметричными волн ф-циями наз. бозонами, с антисимметричными— фермионами. Существует связь между значением спина ч-ц и симметрией их волн. ф-ций: ч-цы с целым спином явл. бозонами, с полуцелым — фермионами (т. н. связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано Паули теоретически (оно явл. одной из осн. теорем релятив. К. м.). В частности, эл-ны, протоны, нейтроны явл. фермионами, а фотоны, пи-мезоны, К-мезоны — бозонами. Сложные ч-цы (напр., ат. ядра), состоящие из нечётного числа фермионов, явл. фермионамн, а из чётного — бозонами.

Св-ва симметрии волн. ф-ции определяют статистические св-ва системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств. ч-цы находятся в одинаковых внеш. условиях (напр., во внеш. поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения — числа ч-ц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квант. чисел. Но если тождеств. ч-цы имеют одинаковые квант. числа, то их волн. ф-ция симметрична относительно перестановки ч-ц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волн. ф-ция должна быть антисимметричной. Это св-во наз. принципом запрета Паули или Паули принципом. Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Т.к. эл-ны явл. фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение эл-нов в атомах, в молекулах и т. д. Для бозонов же числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учетом квантовомеханич. св-в тождеств. ч-ц существует два типа статистик ч-ц: Ферми — Дирака статистика для фермионов и Бозе — Эйнштейна статистика для бозонов. Пример системы, состоящей из фермионов (ферми-системы),— электронный газ в металле, пример бозе-системы — газ фотонов (т. е. равновесное эл.-магн. излучение), жидкий 4Не.

Принцип Паули явл. определяющим для понимания структуры периодич. системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число эл-нов, равное кратности вырождения этого уровня. Кратность вырождения зависит от орбит. квант. числа и от спина эл-на (s); она равна:

(2l+1)(2s+1)=2(2l+1).

Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. АТОМ).

Обменное взаимодействие. Химическая связь.

Молекула представляет собой связ. систему ядер и эл-нов, между к-рыми действуют электрические (кулоновскне) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее эл-нов, эл-ны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что система такого типа не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятно с точки зрения классич. представлений существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с ковалентной хим. связью (напр., простейшей молекулы — Н2). Оказалось, что св-во антисимметрии электронной волн. ф-ции так изменяет хар-р вз-ствия эл-нов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода Н2, состоящую из двух протонов и двух эл-нов. Волн. ф-ция такой системы представляет собой произведение двух ф-ций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая — только от спиновых переменных обоих эл-нов. Если суммарный спин эл-нов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая ф-ция антисимметрична относительно нерестановки спиновых переменных эл-нов, и для того чтобы полная волн. ф-ция (в соответствии с принципом Паули) была антисимметричной, координатная часть волн. ф-ции yr должна быть симметричной относительно перестановки координат эл-нов. Это означает, что yr имеет вид:

yr=ya(1) yb(2)+yb(1) ya(2), (25)

где ya(i), yb(i) — волн. ф-ции i-того эл-на (i=1,2) соотв. у ядра a и b.

Кулоновское вз-ствие пропорц. плотности электрич. заряда r=e|y|2=еyy*. При учёте св-в симметрии e|y|2, помимо плотности обычного вида:

e|y|(1)|2|2|yb(2)|2, e|yb(1)|2|ya(2)|2, соответствующих движению отд. эл-нов у разных ядер, появляется плотность вида:

ey*a(1)y*b(2)ya(2),

ey*b(1)y*b(2)ya(2), ey*b(l)ya(l)y*a(2)yb(2).

Она паз. обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена эл-нами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряж. ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной хим. связи. При суммарном спине эл-нов, равном единице, yr антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицат. знак, а следовательно, уменьшает плотность отрицат. электрич. заряда между ядрами, приводит как бы к дополнит. отталкиванию ядер. Т. о., симметрия волн. ф-ции приводит к «дополнительному», обменному взаимодействию. Характерна зависимость этого вз-ствия от спинов эл-нов. Непосредственно динамически спины не участвуют во вз-ствии — источником вз-ствия явл. электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами, но в зависимости от ориентации спинов волн. ф-ция, антисимметричная относительно перестановки двух эл-нов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения эл-нов (их координат). От типа же симметрии yr зависит знак обменной плотности и соотв. эфф. притяжение или отталкивание ч-ц в результате обменного вз-ствия. Так, спины эл-нов благодаря квантовомеханич. специфике св-в тождеств. ч-ц фактически определяют хим. связь. Расчёты строения и св-в молекул на основе К. м. явл. предметом квантовой химии.

Обменное вз-ствие играет существ. роль во мн. явлениях, напр. объясняет ферромагнетизм. Множество явлений в конденсиров. телах тесно связано со статистикой образующих их ч-ц и с обменным вз-ствием. Условие антисимметрии волн. ф-ции для фермионов приводит к тому, что они при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга, даже если между ними не действуют никакие силы. В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волн. ф-циями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат в основе сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квант. генераторов и квант. усилителей).

Математическая схема квантовой механики. Нерелятив. К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Матем. аппарат К. м. обладает логич. безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами матем. схемы и физ. величинами.

Первым осп. понятием К. м. явл. квантовое состояние. Выбор матем, аппарата К. м. диктуется физ. принципом суперпозиции квант. состояний, вытекающим из волн. св-в ч-ц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, явл. также возможным состоянием системы. Объекты, для к-рых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, наз. векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось нек-рым вектором — вектором состояния (с к-рым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волн. ф-ции), являющимся элементом линейного «пр-ва состояний». Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пр-в. Вектор состояния обозначается, по Дираку, |y>. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |y> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на другой вектор, т. е. составить скалярное произведение |y> с любым другим вектором состояния |y'>; оно обозначается как и явл. комплексным числом, причём

*. (26)

Скалярное произведение вектора |y|> с самим собой, ,— положит. число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Разл. состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пр-ве состояний.

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |y> к другому вектору |y'> или произвести преобразование |y>®|y'>. Символически эту операцию можно записать как результат действия на |y> нек-рого линейного оператора L^:

При этом |y'> может отличаться от |y> длиной и направлением. Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К.м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов |y1> и |y2> получается суперпозиция преобразованных векторов:

Важную роль для оператора L^ играют такие векторы |y>?|yl>, для к-рых |y'> совпадает по направлению с |y>, т. е.

где l — число. Векторы |yl > наз. собственными векторами оператора L^, а числа l, — его собственными значениями. Собств. векторы |yl> принято обозначать просто |l>, т. е. |yl>?|l>. Собств. значения l образуют либо дискр. ряд чисел (тогда говорят, что оператор L^ имеет дискр. спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы, собств. значения l к-рых вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие разл. собств. значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пр-ве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на единицу: можно разложить по этому базису:

При этом:

что эквивалентно теореме Пифагора; если |y> нормирован на единицу, то

Принципиальное значение для построения матем. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физ. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в к-рых эта величина принимает вполне определённое (единств.) значение. По существу это св-во явл. определением измеримой (физ.) величины, а состояния, в к-рых физ. величина имеет определ. значение, наз. собственными состояниями этой, величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собств. состояний к.-л. физ. величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собств. векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физ. величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту кол-ва движения, энергии и т. д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор L^. Собств. значения l оператора L^ интерпретируются как возможные значения физ. величины L, получающиеся при измерениях. Если вектор состояния |y> — собств. вектор оператора L^, то физ. величина L имеет определ. значение. В противном случае L принимает разл. значения l с вероятностью |сl|2, где сl — коэфф. разложения |y> по |l>:

|y?Slcl|l>. (34)

Коэфф. cl= разложения |y> в базисе |l> наз. также волн. ф-цией в l-представлении. В частности, волн. ф-ция y(х) представляет собой коэфф. разложения вектора состояния |y> по собств. векторам оператора координаты х^:

y(x)=

Ср. значение L наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэфф. сl, согласно общему соотношению между вероятностью и ср. значением:

Значение L можно найти непосредственно через L^ и |y> (без определения коэфф. сl) по ф-ле:

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физ. величинам, как импульс, момент кол-ва движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе Ћ®0 рассматриваемые физ. величины принимали «классич.» значения. Вместе с тем в К. м. вводятся нек-рые линейные эрмитовы операторы (напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат (пространственной инверсии), перестановке одинаковых ч-ц), к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов (напр., чётность).

С операторами можно производить алгебр. действия сложения и умножения. Но, в отличие от обычных чисел (к-рые в К. м. наз. с-числами), операторы явл. такими «числами» (q-числами), для к-рых операция умножения некоммутативна. Если L^ и М^ — два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор |y> в разл. порядке даёт разные векторы: L^М^|y>?М^L^|y>, т. е. L^M^? M^L^. Величина L^M^-M^L^ обозначается как (L^, M^) и наз. коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. (L^, М^)=0, у них могут быть общие собств. векторы и, следовательно, наблюдаемые L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения l и m. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определ. значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что если (L^, М^)=с, то

DLDM?|c|/2,

где DL и DM — среднеквадратичные отклонения от ср. значений для соответствующих величин.

Возможна такая матем. формулировка, в к-рой формальный переход от классич. механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и ур-ния движения, но они превращаются в уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классич. механикой можно найти осн. коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса (х^, p^)=iћ. Отсюда следует соотношение неопределённостей DрDх?ћ/2. Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса в координатном представлении. Тогда волн. ф-ция есть y(x), a оператор импульса — дифф. оператор

Можно показать, что спектр его собств значений непрерывен, а амплитуда вероятности есть де-бройлевская волна (|р> — собств. вектор оператора импульса р^). Если задана энергия системы Н(р, х) как ф-цня координат и импульсов ч-ц, то знание коммутатора (х^, р^) достаточно для нахождения (Н^, р^), (Н^, х^), а также уровней энергии как собств. значений оператора полной энергии Н^.

На основании определения момента кол-ва движения Mz=xpy- урх,... можно получить, что |Мx, Мy|=iћM^z. Эти коммутац. соотношения справедливы и при учёте спинов ч-ц; оказывается, что они достаточны для определения собств. значения квадрата полного момента: M2=Ћ2j (j+1), где квант. число j — целое или полуцелое число, и его проекции:

Mz=mћ, m=-j,-j+1,...,+j. Ур-ния движения квантовомеханич. системы могут быть записаны в двух формах:

в виде ур-ния для вектора состояния

наз. шрёдингеровской формой ур-ния движения,

и в виде ур-ния для операторов (q-чисел)

наз. гейзенберговской формой ур-ний движения (наиб. близкой классич. механике). Из (38), в частности, следует, что ср. значения физ. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. теоремой Эренфеста.

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волн. ф-ция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в нач. момент при известном вз-ствии системы. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |y> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квант. объектом в общем случае непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханнч. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квант. объектов дополнит. степеней свободы — «скрытых параметров», учёт к-рых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классич. механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти «скрытые параметры» неизвестны и не учитываются. Однако амер. учёный Дж. фон Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. при сохранении её осн. положения о соответствии между наблюдаемыми (физ. величинами) и операторами.